Рассмотрим однопараметрическое семейство $X_{\mu}$ трехмерных гладких динамических систем
\[
\dot{x}=X(x, \mu),
\]

непрерывно зависящих от параметра $\mu$. Предположим, что системы (2) при $0 \leqslant \mu \leqslant 1$ имеют состояние равновесия $O(0,0,0)$ типа седло. Пусть $\lambda_{1}(\mu), \lambda_{2}(\mu), \lambda_{3}(\mu)$ – корни характеристического уравнения в $O$ и $\operatorname{Re} \lambda_{i}(0)<0, i=1$, 2 , а $\lambda_{3}(0)>0$. Устойчивое двумерное многообразие седла $O$ будем обозначать через $W^{s}(\mu)$. Предположим, что одна из двух траекторий, выходящих из $O$ которую обозначим через $\Gamma_{1}(\mu)$ (вторую обозначим через $\Gamma_{2}(\mu)$ ), при $\mu=0$ возвращается в седло. Ниже $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ мы будем называть сепаратрисами. Будем предполагать, что седловая величина
\[
\sigma(0)=\max _{i=1,2} \operatorname{Re} \lambda_{i}(0)+\lambda_{3}(0)
eq 0 .
\]

Дальнейшее рассмотрение сводится к трем следующим основным случаям:
I) Пусть $\sigma(0)<0$. Тогда, как известно [33], из петли $\overline{\Gamma_{1}(0)}=\Gamma_{1}(0) \cup O$ может родиться только одно периодическое
Рис. 5.

движение $L_{1}(\mu)$. При.этом $\Gamma_{1}(\mu)$ при $t \rightarrow+\infty$ будет наматываться на $L_{1}(\mu)$.
II) Пусть $\lambda_{1}(0)$ и $\lambda_{2}(0)$ – комплексно-сопряженные и $\sigma(0)>0$. Здесь, как следует из $[34,37]$, в любой окрестности $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ будет существовать нетривиальное гиперболическое множество, содержащее счетное множество периодических движений. Однако это множество не исчерпывает всего множества траекторий, целиком лежащих в окрестности $\overline{\Gamma_{1}(0)}$. Это следует из того, что отображение последования $T(\mu)$ при $\mu=0$ на секущей $D$, трансверсальной к $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ имеет счетное множество подков Смейла $T: \sigma_{k} \rightarrow \sigma_{k}$ (см. рис. 5 , где через $D_{1}$ обозначена область определения $T(\mu)$ ) с необязательно грубыми переходами с одной подковы на другую. При $\mu$ же не равном нулю подков остается только коненное число. Имеющие здесь место бифуркационные явления будут зависеть от новой седловой величины $\sigma_{1}(0)=2 \operatorname{Re} \lambda_{1}(0)+\lambda_{3}(0)$. Будем предполагать, что $\sigma_{1}(0)
eq 0$. Тогда можно доказать следующее: 1. При $\sigma_{1}(0)<0 X_{\mu}$ при $\mu$ из счетного множества интервалов будет иметь устойчивое периодическое движение, смена устойчивости которого сопровождается бифуркацией, связанной с рождением периодического движения удвоенного периода. 2. При $\sigma_{1}(0)>0$ будет существовать счетное множество интервалов, для значений $\mu$ из которых система $X_{\mu}$ будет иметь вполне неустойчивое периодическое движение (устойчивое при $t \rightarrow-\infty$ ).

Как уже отмечалось выше, на плоскости параметров $r$, $\sigma$ модели Лоренца при $b=8 / 3$ имеется счетное множество кривых $l_{i j}$, точкам которых соответствуют петли сепаратрис $O_{1}$ и $O_{2}$. Поскольку в седле $O_{1}\left(O_{2}\right)$ два корня $\lambda_{1}^{(1)}$ и $\lambda_{2}^{(1)}$, комплексно-сопряженные с $\operatorname{Re} \lambda_{i}^{(1)}>0$, а третий $-\lambda_{3}^{(1)}<0$, то $O_{1}\left(O_{2}\right)$ имеет двумерное неустойчивое многообразие $W_{1}^{u}\left(W_{2}^{u}\right)$ и две траектории $\Gamma_{11}$ и $\Gamma_{12}\left(\Gamma_{21}\right.$ и $\Gamma_{22}$ ), входящие в него. Пусть $\bar{\Gamma}_{11}$ $\left(\Gamma_{21}\right)$ – петля седла $O_{1}\left(O_{2}\right)$, соответствующая $l_{i j}$. Так как сумма корней равна дивергенции поля в $O_{1}$, а она равна – $b$ $-\sigma-1$, то получаем, что $2 \operatorname{Re} \lambda_{1}^{(1)}+\lambda_{1}^{(1)}<0$ и $\operatorname{Re} \lambda_{1}^{(1)}+\lambda_{3}^{(1)}<0$. Таким образом, с точностью замены времени $t$ на $-t$, мы находимся в условиях применимости второго случая. А это означает, что модель Лоренца при $r$ и $\sigma$ из счетного множества областей имеет устойчивые периодические движения $\left.{ }^{1}\right)$.
III) Пусть $\lambda_{1}(0)<\lambda_{2}(0)$ и $\sigma(0)>0$. Как известно, в рассматриваемом случае все траектории, принадлежащие $W^{s}(0)$, за исключением двух, будут входить в $O$, касаясь ведущего направления: Поскольку без ограничения общности можно считать, что система (2) при малых $\mu$ имеет вид
\[
\dot{x}_{i}=\lambda_{i}(\mu) x_{i}+F_{i}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \mu\right), \quad i=1,2,3,
\]

то ведущим направлением будет ось $x_{2}$. Две же исключительные траектории, входящие в $O$, касаются оси $x_{1}$. Вместе с $O$ они образуют неведущее многообразие, которое обозначим через $W_{0}^{s}(0)$. Оно разделяет $W^{s}(0)$ на две области, $W_{+}^{s}(0)$ и $W_{-}^{s}(0)$. Будем предполагать, что $\Gamma_{1}(0) \in W_{+}^{s}(0)$. Пусть $U-$
1) Можно также показать, что к каждой точке $Q_{i j}$ примыкает бифуркационная кривая, соответствующая контуру из $O_{1}, \Gamma_{21}, O_{2}, \Gamma_{11}$.

некоторая достаточно малая окрестность $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ и $\mathfrak{M}_{1}$ – связная компонента пересечения $W_{+}^{s}(0)$ с $U$, содержащая $\Gamma_{1}(0)$. Как следует из [36], в общем случае $\mathfrak{M}_{1}$ есть двумерная непрерывная поверхность, гомеоморфная либо цилиндру, либо листу Мёбиуса. В 1-м случае $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ будем называть ориентируемой петлей, а во втором – неориентируемой.

Теорема 1 [36]. При сделанных предположениях из $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ может родиться только одно периодическое движение $L_{1}(\mu)$ и притом седлового типа. В случае ориентируемой петли $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ условие рождения состоит в том, чтобы
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} \Gamma_{1}(\mu) \supset \Gamma_{2}(0),
\]

в случае неориентируемой $-{ }^{1}$ )
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} \Gamma_{1}(\mu)=\Gamma_{1}(0) .
\]

В первом случае инвариантные многообразия $L_{1}(\mu)$ будут цилиндрами, а во втором – листами Мёбиуса.

Доказательство теоремы основано на исследовании отображения последования $T_{1}(\mu)$, построенного на некоторой секущей пластинке $D$ в плоскости $x_{2}=d$ по траекториям, близким к $\Gamma_{1}(\mu)$. В некоторых локальных переменных на $D$ это отображение может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x_{1}^{* *}(\mu)+y^{\alpha(\mu)} \varphi_{1}(x, y, \mu), \\
\bar{y}=y_{1}^{* *}(\mu)+y^{\alpha(\mu)} \Psi_{1}(x, y, \mu),
\end{array}
\]

где $\alpha(\mu)=\left|\lambda_{2}(\mu)\right| \lambda_{3}^{-1}(\mu), \quad P_{1}\left(x_{1}^{* *}(\mu), \quad y_{1}^{* *}(\mu)\right)$ точка 1 -го пересечения $\Gamma_{1}$ с $D$, причем $y_{1}^{* *}(0)=0 ; y=0$ есть уравнение пересечения $W^{s}(\mu)$ с плоскостью $x_{2}=d$, а функции $\varphi_{1}$ и $\psi_{1}$ определены, непрерывны и дифференцируемы по $x$ и $y>0$ в $D_{1}$ при $\mu \geqslant 0$. При $y \rightarrow 0 \varphi_{1}$ и $\psi_{1}$ допускают доопределение по непрерывности величиной, зависящей только от $\mu$. Предел $\psi_{1}$ при $y \rightarrow 0$ будем обозначать через $A_{1}(\mu)$. Кроме того, имеют место оценки
\[
K_{1}<\left|\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y} \cdot y^{1-\beta_{1}(\mu)}\right|<K_{2}, K_{3}<\left|\frac{\partial \psi_{1}}{\partial y} \cdot y^{1-\beta_{2}(\mu)}\right|<K_{4},
\]

где $K_{1}, \ldots, K_{4}$ – константы, а $\beta_{1}(\mu)$ и $\beta_{2}(\mu)$ – некоторые положительные функции, не превосходящие 1. На языке ото-
1) Здесь через $\lim$ обозначен топологический предел.

бражений условие $A_{1}(0)>0$ означает, что петля $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ ориентируемая, $A_{2}(0)<0$ – что она неориентируема.

Пусть $W_{1}^{s}(\mu)$ и $W_{1}^{u}(\mu)$ устойчивое и неустойчивое многообразия периодического движения $L_{1}(\mu)$. В силу того что $L_{1}(\mu)$ отрождается от $\overline{\Gamma_{1}(0)}$, можно показать, что $W_{1}^{s}(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ имеет топологическим пределом множество, содержащее $W_{+}^{s}(0)$, а расстояние между $W_{1}^{s}(\mu)$ и $W^{s}(\mu)$ в $D$ имеет порядок $\left|y_{1}^{* *}(\mu)\right|^{1 / \alpha(\mu)}$. Относительно $W_{1}^{u}(\mu)$ можно сказать следующее. $W_{1}^{u}(\mu)$ трансверсально пересекает $W^{s}(\mu)$ и в его границу входит $\Gamma_{1}(\mu)$.

Как мы уже отмечали, модель Лоренца допускает группу симметрии. Поэтому существование одной петли означает существование другой, причем обе сепаратрисы $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ будут входить в $O$, касаясь друг друга. Из сказанного нетрудно извлечь, что устойчивые и неустойчивые многообразия родившихся периодических движений трансверсально пересекаются. А это означает, что при переходах через $l_{i}, i=1,4,5$ будет возникать гомоклинический контур, а следовательно, нетривиальное гиперболическое множество [35]. Однако это множество, вообще говоря, у́же всего появившегося предельного множества.