На следующем шаге заменой координат приведем $\Phi_{\mu}$ к виду, близкому к соответствующей канонической форме.
1) Как отмечалось выше, для уравнений в частных производных $P$ может стать диффеоморфизмом только после сведения, а до этого будет только гладким отображением.

Чтобы это было возможно, нам необходимо сделать техническое $^{1}$ ) предположение ${ }^{2}$ ):
\[
e^{i m \theta(0)}
eq 1, \quad m=1,2,3,4,5 .
\]
(6.1) Лемма. При выполнении условия (6.1) можно сделать зависящую от $\mu$ замену координат, приводящую $\Phi_{\mu}$ $\kappa$ виду
\[
\Phi_{\mu}(x)=N \Phi_{\mu}(x)+O\left(|x|^{5}\right),
\]

где в полярных координатах
\[
N \Phi_{\mu}:(r, \varphi) \mapsto\left((1+\mu) r-f_{1}(\mu) r^{3}, \varphi+\theta(\mu)+f_{3}(\mu) r^{2}\right) .
\]

Доказательство этого предложения использует стандартную технику и может быть получено, например, из $\S 23$ книги Зигеля и Мозера [1] ${ }^{3}$ ). В гл. 6 А мы приведем вполие элементарное доказательство. Как указано выше, мы считаем $N \Phi_{\mu}$ почти канонической формой для $\Phi_{\mu}$. Отметим две особенности $N \Phi_{\mu}$ :
(1) новое $r$ зависит только от старого $r$, но не зависит от $\varphi$;
(2) новое $\varphi$ получается от старого поворотом, зависящим от $r$.
Добавим теперь последнее предположение:
\[
f_{1}(0)>0 .
\]

Из этого предположения следует, что для малых положительных $\mu$ отображение $N \Phi_{\mu}$ имеет инвариантную окружность радиуса $r_{0}$, где $r_{0}$ является корнем уравнения $(1+\mu) r-$ $-f_{1}(\mu) r^{3}=r$, т. е. $r_{0}^{2}=\mu / f_{1}(\mu)$. Ниже мы проверим, что для отображения $N \Phi_{\mu}$ эта окружность устойчива. Так как $\Phi_{\mu}$ мало отличается от $N \Phi_{\mu}$, то не будет большой неожиданностью существование близкой инвариантной кривой для $\Phi_{\mu}$.
1) Это предположение вовсе не является техническим, хотя в доказательстве и играет такую роль. В случаях $m=1,2,3,4$ может вообще не происходить рождения тора. См. Сакер [1], Арнольд [6], Гаврилов [1]. Пром. перев.
2) Как указал нам Д. Рюэль, только $m=1,2,3,4$ действительно необходимо для бифуркационных теорем; как это будет видно из доказательства в гл. 6A.
8) Каноническая форма играет важную роль в небесной механике при доказательстве существования и устойчивости замкнутых орбит, близких к данной, т. е. для нахождения неподвижных точек или инвариантных кривых отображения Пуанкаре. В гамильтоновом случае это отображение симплектическое (см. Абрахам и Марсден [1]), поэтому применима теорема Биркгофа, а также результаты А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера, если отображение является «закручивающим».