В дальнейшем мы иногда будем использовать определители; этого, однако, можно избежать. В линейном уравнении, полученном линеаризацией уравнения (2.3) в окрестности периодического решения
\[
\mathbf{u}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{u}),
\]
1) См. редакторские комментарии III в гл. 5 A.

из (2.3) получаем
\[
\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{u})=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{u})+2 \varepsilon \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{u})+3 \varepsilon^{2} \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y}, \mathbf{u})+\ldots
\]

Фундаментальная система $\mathbf{u}_{i}(t, \varepsilon)$, получающаяся для фиксированных начальных условий, аналитически зависит от $(t, \varepsilon)$. Коэффициенты в выражении $\mathbf{u}_{i}(T, \varepsilon)=\sum a_{i v}(\varepsilon) \cdot \mathbf{u}_{v}(0)$ аналитичны в точке $\varepsilon=0$. Характеристическое уравнение
\[
\left\|a_{i k}(\varepsilon)-\zeta \delta_{i k}\right\|=0, \quad \xi=e^{\lambda T(\varepsilon)}
\]

определяет характеристические показатели $\lambda_{k}$ и решения $\mathbf{v}$ уравнения (1.3), где
\[
\mathbf{u}=e^{\lambda t} \mathbf{v} .
\]

Так как (5.1) имеет решение $\mathbf{u}=\dot{\mathbf{y}}$, то $\zeta=1$ есть корень (5.3). Показатель $\beta$, о котором говорилось во введении, соответствует простому корню уравнения, полученному делением на $\zeta-1$. Таким образом, $\beta(\varepsilon)$ действителен и аналитичен в точке $\varepsilon=0, \beta=\beta_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$ ( $\beta_{1}$ равен нулю на том же основании, что $\mu_{1}$ и $\tau_{1}$ ). Теперь, если $\beta$ не $\equiv 0$, тогда существует некоторый минор порядка $n-1$ в определителе (5.3) (с соответствующим $\zeta$ ), который не равен 0 . Отсюда следует, что (1.3) при $\lambda=\beta$ имеет решение $\mathbf{v}
ot \equiv 0$, которое аналитично в точке $\varepsilon=0$. Даже если $\beta \equiv 0$, то существует минор порядка $(n-2)$, не равный нулю. Как известно, в этом случае существует решение уравнения (5.1), аналитическое в точке $\varepsilon=0$, вида $\mathbf{u}=t \mathbf{v}+\mathbf{w}$ с периодическими $\mathbf{v}, \mathbf{w}$, где или $\mathbf{v}
eq 0$, или $\mathbf{v}=0$ и $\mathbf{w}$ линейно не зависит от решения $\mathbf{u}=\dot{\mathbf{y}}^{1}$ ). Из того, что $t \mathbf{v}+\mathbf{w}$ – решение, следует, что
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}), \quad \mathbf{v}+\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{w}) .
\]

После этих предварительных замечаний приступим к вычислению $\beta_{2}$. Предположим здесь, что $\mu_{2}
eq 0$. Тогда, как будет далее показано, тождество $\beta \equiv 0$ невозможно. Если использовать (4.7) и ввести $s$ как новое $t$ в (1.3), то
\[
\left(1-\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) \dot{\mathbf{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}) .
\]

Имеем также (с новым $t$ )
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}(t)+\varepsilon \mathbf{v}_{1}(t)+\varepsilon^{2} \mathbf{v}_{2}(t)+\ldots,
\]

где все $\mathbf{v}_{i}$ имеют один и тот же период $T_{0}$. Если рассмотреть степенные ряды для $\mu, \beta, \mathbf{v}, \mathbf{y}$, то отсюда будет следовать
1) См., например, Moulton F. R., Periodic Orbits, Washington, 1920, p. 26 .

(индекс нуль в операторах, как и выше, опускается), что
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{v}}_{0}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{0}\right) \\
\dot{\mathbf{v}}_{1}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{0}\right), \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{0}-\tau_{2} \dot{\mathbf{v}}_{0}+\dot{\mathbf{v}}_{2}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mu_{2} \mathbf{L}^{\prime}\left(\mathbf{v}_{0}\right)+ \\
+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{1}, \mathbf{v}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{1}\right)+3 \mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения имеют тривиальное решение
\[
\beta_{i}=0, \quad \mathbf{v}_{i}=\dot{\mathrm{y}}_{i} \quad(i=0,1, \ldots) .
\]

Таким образом, получаем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\mathbf{y}}_{1}=\mathbf{L}\left(\dot{\mathbf{y}}_{1}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right) . \\
-\tilde{\tau}_{2} \ddot{\mathbf{y}}_{0}+\ddot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{L}\left(\dot{\mathbf{y}}_{2}\right)+\mu_{2} L^{\prime}\left(\dot{\mathbf{y}}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{1}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right)+ \\
\\
+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{1}\right)+3 \mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Так как можно считать, что $\mathrm{v}_{0}
eq 0$, то
\[
\left.\mathbf{v}_{0}=\rho \mathbf{y}_{0}+\sigma \dot{\mathbf{y}}_{0}{ }^{1}\right),
\]

где по крайней мере один из коэффициентов не 0 . Если положить
\[
\mathbf{v}_{1}-2 \rho \mathbf{y}_{1}-\sigma \mathbf{y}_{1}=\mathbf{w},
\]

то из (4.10), (5.6) и (5.9) будет следовать, что $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})$, и, таким образом,
\[
\mathbf{w}=\rho^{\prime} \mathbf{y}_{0}+\sigma^{\prime} \dot{\mathbf{y}}_{0} .
\]

Если образовать комбинацию (5.7)- $\rho(4.11)-\sigma(5.10)$, в которой исключается $L^{\prime}$, и положить $\mathbf{v}_{2}-\rho \mathbf{y}_{2}-\sigma \dot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{u}$, тогда, используя (5.11) и (5.12), можно получить
\[
\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}(\mathbf{u})+2 \rho\left(2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right)+\mathbf{R},
\]

где $\mathbf{R}=2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{w}\right)$. Если теперь применить правило скобок предыдущего параграфа к (4.10) и (5.9), то из (5.13) будет следовать, что
\[
[\mathbf{R}]_{1}=[\mathbf{R}]_{2}=0 .
\]

Если его применить к (5.14), в котором и имеет период $T_{0}$, то из (4.6) (с $\mathrm{z}=\mathrm{y}_{0}$ ) получим, что
\[
\rho \boldsymbol{\beta}_{2}=2 \rho\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{1} .
\]
1) $\rho$ и $\sigma$ в (5.11) не следует путать с символами $\rho$ и $\sigma$, которые использовались в п. 2.

Следовательно, по (4.16)
\[
\rho \beta_{2}=-2 \rho \mu_{2} \mathbf{R}\left(\alpha^{\prime}\right) .
\]

Аналогично получаем, что
\[
\sigma \beta_{2}=-2 \rho\left(\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right) .
\]

Отсюда или $\beta_{2}$ дается формулой (1.4) (и тогда $\beta_{2}$ не нуль, так как $\mu_{2}
eq 0$ ), или $\beta_{2}=0$. В обоих случаях $\rho: \sigma$ однозначно определено (во втором случае $\rho=0$ ).

Чтобы проверить, что на самом деле осуществляется первый случай, нам придется предпринять несколько более длинное вычисление. Схематично можно представлять этот процесс следующим образом. Уравнение, связывающее $\boldsymbol{\beta}$ и $\mathbf{v}$ (а именно уравнение, которое следует за уравнением (5.4)) следует поделить на множитель в круглых скобках. Оно тогда примет вид
\[
\dot{\mathbf{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}),
\]

причем
\[
\mathbf{L}_{t, \varepsilon}=\mathbf{L}_{0}+\varepsilon \mathbf{L}_{1}+\varepsilon^{2} \mathbf{L}_{2}+\ldots,
\]

где $\mathbf{L}_{0}$ – постоянный оператор, а $\mathbf{L}_{i}, i>0$ периодически зависят от $t$ с периодом $T_{0}$. Коэффициенты при 1 и $\varepsilon$ не меняются при делении. Раскладывая в степенные ряды, получим
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{v}}_{0} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{0}\right), \\
\dot{\mathbf{v}}_{1} & \left.=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{0}\right)^{1}\right), \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{v}}_{2} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{v}_{0}\right), \\
\boldsymbol{\beta}_{3} \mathbf{v}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{1}+\dot{\mathbf{v}}_{3} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{3}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{3}\left(\mathbf{v}_{0}\right)
\end{aligned}
\]

и так далее. Ситуация следующая. Для $\varepsilon=0$ существует два решения $\mathbf{z}, \mathbf{z}$ с периодом $T_{0}$. Кроме того,
\[
\mathbf{v}_{0}=\rho \mathbf{z}+\sigma \dot{\mathbf{z}}
\]

и
\[
\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{z})\right]=\left[\mathbf{L}_{1}(\dot{z})\right]=0
\]

для обоих индексов при скобках. Отсюда следует, что
\[
\mathbf{v}_{1}=\rho \mathrm{g}+\sigma \mathbf{h}+\rho^{\prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime} \mathbf{z}
\]
1) Можно не предполагать $\beta_{1}=0$. По правилу скобок это следует из (5.17).

с фиксированными периодическими функциями $\mathbf{g}$ и h. Для третьего из уравнений (5.15) правило скобок дает
\[
\begin{array}{l}
\beta_{2} \rho=A_{1} \rho+B_{1} \sigma, \\
\beta_{2} \sigma=A_{2} \rho+B_{2} \sigma,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A_{l}=\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{g})+\mathbf{L}_{2}(\mathbf{z})\right]_{i}, \\
B_{i}=\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{h})+\mathbf{L}_{2}(\dot{\mathbf{z}})\right]_{i},
\end{array}
\]

в то время как из (5.17) следует, что $\rho^{\prime}$ и $\sigma^{\prime}$ исключаются. Ситуация теперь такова, что уравнения (5.19) с неизвестными $\beta_{2}, \rho, \sigma$ имеют два различных действительных решения $\left.\beta_{2}{ }^{1}\right)$. К ним относятся две линейно независимых пары $(\rho, \sigma)$. Каждое из двух решений системы теперь приводит к однозначному определению $\beta_{i}$ и $\mathbf{v}_{i}$ при помощи рекуррентных формул, если подходящим образом нормировать v. Чтобы это доказать, выберем постоянный вектор $\mathbf{a}
eq 0$ таким образом, что $\mathbf{v}_{0} \cdot \mathbf{a}=1(t=0)$ для обеих пар $(\rho, \sigma)$ в (5.16). Тогда получаем, что
\[
\mathbf{v} \cdot \mathrm{a}=1, \quad t=0,
\]
т. е. $\mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{a}=0$ при $t=0$ для $i>0$. Пусть
\[
\mathbf{z} \cdot \mathbf{a}=C, \quad \dot{\mathbf{z}} \cdot \mathbf{a}=D \quad(t=0) .
\]

Тогда для обоих значений $\beta_{2}$ система уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(A_{1}-\beta_{2}\right) \rho+B_{1} \sigma=0, \\
A_{2} \rho+\left(B_{2}-\beta_{2}\right) \sigma=0, \\
C \rho+D \sigma=1
\end{array}
\]

однозначно определяет неизвестные $\rho$ и $\sigma$. Теперь $\beta_{2}, \rho, \sigma, \mathbf{v}_{0}$ определены. Используя определения $\mathbf{g}$, h и (5.18), из третьего уравнения (5.15) получаем
\[
\mathbf{v}_{2}=\rho^{\prime} \mathbf{g}+\sigma^{\prime} \mathbf{h}+\rho^{\prime \prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime \prime} \dot{\mathbf{z}}+\ldots,
\]

где опущенные члены уже известны. Из четвертого уравнения (5.15) с использованием (5.18), (5.20), (5.22) и правила скобок получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
\rho \beta_{3}-\left(A_{1}-\beta_{2}\right) \rho^{\prime}-B_{1} \sigma^{\prime}=\ldots, \\
\sigma \beta_{3}-A_{2} \rho^{\prime}-\left(B_{2}-\beta_{2}\right) \sigma^{\prime}=\ldots
\end{array}
\]
1) В общем случае, т. е. если специальные условия (5.17) не выполнены, расщепление на два случая происходит уже во втором уравнении (5.15). Решение задачи в этом случае можно найти в книге F. R. Moulton, Pefiodic Orbits. См. гл. 1, в особенности стр. 34 и 40.

Так как $\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{a}=0(t=0)$, добавляем к этим уравнениям уравнение
\[
C \rho^{\prime}+D \sigma^{\prime}=\ldots
\]

Три величины $\beta_{2}, \rho^{\prime}, \sigma^{\prime}$ теперь однозначно определяются из этих трех уравнений. С помощью (5.21) устанавливается, что определитель равен
\[
A_{1}+B_{2}-2 \beta_{2} \text {. }
\]

Это выражение не равно нулю, так как по предположению (5.15) имеет два различных решения $\beta_{2}$. Отсюда следует, что можно определить
\[
\beta_{3}, \rho^{\prime}, \sigma^{\prime} \text { и } \mathbf{v}_{1} .
\]

Теперь легко видеть, что на следующем шаге $\beta_{4}, \rho^{\prime \prime}, \sigma^{\prime \prime}$ определяются из уравнений с точно такими же левыми частями, и дальше все определяется аналогичным образом.

Вернемся теперь к специальной задаче, которая нас интересует, и предположим, что при подходящей нормировке существует два различных формальных степенных ряда для пар $(\beta, \mathbf{v})$, которые удовлетворяют уравнению
\[
\left(1-\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) \dot{\mathbf{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}) .
\]

C другой стороны, предварительно было показано, что при предположении $\beta
eq 0$ существует два действительных решения, одно из которых известно, именно (5.8). При этом предположении второе (нормированное) решение может, следовательно, быть представлено степенным рядом, и формула (1.4) для $\beta_{2}$ действительно имеет место.

Чтобы покончить с этим, мы должны еще показать, что если $\mu_{2}
eq 0$, то случай $\beta \equiv 0$ не может осуществиться. Мы здесь набросаем только схему. Так как (5.19) имеет решение $\beta_{2}=\rho=0$ и второе $\beta_{2}
eq 0$, то
\[
B_{1}=B_{2}=0, \quad A_{1}
eq 0 .
\]

Если бы $\beta$ было $\equiv 0$, тогда (5.4) имело бы решение с описанными здесь свойствами.
Разложение $\mathbf{v}$ и w в степенные ряды дает
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{w}}_{0}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{0}\right), \\
\mathbf{v}_{1}+\dot{\mathbf{w}}_{1}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{1}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{w}_{0}\right), \\
\mathbf{v}_{2}+\dot{\mathbf{w}}_{2}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{2}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{w}_{1}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{w}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Имеем
\[
\mathbf{w}_{0}=\rho \mathbf{z}+\boldsymbol{\sigma} \dot{\mathbf{z}} \text {. }
\]

Так как $\mathbf{v}_{0}$ также имеет этот вид, то, согласно правилу скобок, $\mathbf{v}_{0}$ должно быть равно нулю. Аналогично из (5.17) следует, что $\mathbf{v}_{1}=0$. Так же как в (5.18) находим, что
\[
\mathbf{w}_{1}=\rho g+\sigma \mathbf{h}+\rho^{\prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime} \mathbf{z} .
\]

Выше было показано, что уравнение $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathrm{v})$ имеет решение (y) с периодом $T_{0}$, единственное с точностью до множителя. Таким образом, мы получаем
\[
\mathbf{v}_{2}=\lambda \dot{\mathbf{z}} \text {. }
\]

Как и выше, используя (5.20) и применяя правило скобок к (5.24), получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
0=A_{1} \rho+B_{1} \sigma, \\
\lambda=A_{2} \rho+B_{2} \sigma
\end{array}
\]
(в которых $\rho^{\prime}, \sigma^{\prime}$ сокращаются). Согласно (5.23), отсюда следует $\rho=\lambda=0$, откуда получаем $\mathbf{v}_{2}=0$. Согласно (5.25), $\mathbf{w}_{0}=\sigma \mathbf{z}$. Если вычесть из второго уравнения (5.4) решение $\sigma \mathbf{y}$ уравнения $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})$ и разделить на $\varepsilon$, то эта процедура может быть повторена; последовательно устанавливается, что $\mathbf{v}_{0}=0$, и, значит, $\mathbf{v}=0$. Этим доказано, что $\beta$ не может быть равно нулю.

Таким образом, при предположении $\mu_{2}
eq 0$ проверка формулы (1.4) завершена. Это предположение можно было бы заменить предположением $\mu
eq 0$. Рассмотрение изменилось бы лишь в том, что при вычислении коэффициентов расщепление произошло бы позднее.

Трудности, возникающие при таком подходе, могли бы быть обойдены следующим образом. Сначала чисто формально, как и выше, вычисляются коэффицненты степенных рядов для $\boldsymbol{\beta}$ и $\mathbf{v}$ и непосредственно доказывается сходимость с помощью метода мажорант. Это соответствовало бы нашей цели облегчить приложение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Но можно также провести рассмотрение случая расщепления и доказательство (1.4) исключительно с использованием определителей ${ }^{1}$ ).
1) См. редакторские комментарии IV в гл. 5A.