Для произвольно большого $L>T_{0}$ существуют два положительных числа $a$ и $b$ со следующими свойствами: каждое периодическое решение $\mathbf{x}(t)
eq 0$ уравнения (1.1) с периодом меньше $L$, которое соответствует значению $\mu$ для $|\mu|<b$ и остается в области $|\mathbf{x}|<a$, принадлежит семейству (2.29),
1) См. редакторские комментарии I в гл. 5A.

(2.28), $\varepsilon>0$, если начало отсчета $t$ выбрать подходящим образом.

Если бы это было не так, существовала бы последовательность периодических решений $\mathbf{x}_{k}(t)
eq 0$, имеющих ограниченные периоды $T_{k}<L$, и соответствующих значений $\mu_{k}$, таких, что
\[
x_{k}=\max _{t}\left|\mathbf{x}_{k}(t)\right| \rightarrow 0, \quad \mu_{k} \rightarrow 0,
\]

причем ни одна пара $\mathbf{x}_{k}(t), \mu_{k}$ не принадлежала бы указанному выше семейству.
Положим
\[
\mathbf{y}_{k}(t)=\frac{1}{x_{k}} \mathbf{x}_{k}(t) .
\]
$\mathbf{y}_{k}(t)$ является решением (2.3) с $x_{k}$ вместо $\varepsilon$, и $\mathbf{y}_{k}$ удовлетворяет равенству
\[
\max _{t}\left|\mathbf{y}_{k}(t)\right|=1
\]

Рассмотрим сначала подпоследовательность, для которой начальные значения сходятся, $\mathbf{y}_{k}^{0} \rightarrow \mathbf{z}^{9}$. Тогда равномерно для $|t|<L$ имеем $\mathbf{y}_{k}(t) \rightarrow \mathbf{z}(t)$, где $\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{L}_{0}(z)$ и $\mathbf{z}(0)=\mathbf{z}^{0}$. Так как максимум $|\mathbf{z}|$ равен единице, $\mathbf{z}$ тождественно не равно нулю, поэтому $z$ представляется в форме (2.9) и имеет основной период $T_{0}$. Если сдвинуть начало отсчета $t$ в функции $\mathbf{z}(t)$ в ту точку, где $\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=0$, то можно установить, что в ней $\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}
eq 0$. Эту величину можно считать положительной. В противном случае, так как
\[
\mathbf{z}\left(t+\frac{1}{2} T_{0}\right)=-\mathbf{z}(t)
\]

то этого можно достичь сдвигом из $t=0$ в $1 / 2 T_{0}$. Следо вательно,
\[
\mathbf{z}^{0} \cdot \mathbf{e}=0, \quad \dot{\mathbf{z}}^{0} \cdot \mathbf{e}>0 .
\]

Отсюда следует, что в окрестности $\mathbf{z}^{0}$ и для малых $x$ и $\mu$ все решения дифференциального уравнения (2.3) ( $\chi$ вместо $\varepsilon$ ) пересекают гиперплоскость $\mathbf{y} \cdot \mathbf{e}=0$ однократно. Пусть для точек пересечения $t=0$. Тогда нетрудно убедиться, что для рассматриваемой последовательности $\mathbf{y}_{k}(t), x_{k}, \mu_{k}$ (с этим выбором начала отсчета) всегда $\mathbf{y}_{k}^{0} \rightarrow \mathbf{z}^{0}$. Кроме того,
\[
\mathbf{y}_{k}^{0} \cdot \mathrm{e}=0, \quad \rho_{k}=\dot{\mathbf{y}}_{k}^{0} \cdot \mathrm{e} \rightarrow \dot{\mathbf{z}}^{0} \cdot \mathbf{e}=\rho \rightarrow 0,
\]

и $x_{k} \rightarrow 0, \mu_{k} \rightarrow 0$. Если теперь положить
\[
\tilde{\mathbf{y}}_{k}(t)=\frac{1}{\rho_{k}} \mathbf{y}_{k}(t)=\frac{1}{\rho_{k} x_{k}} \mathbf{x}_{k}(t), \quad \rho_{k} x_{k}=\varepsilon_{k},
\]

тогда $\tilde{\mathbf{y}}_{k}$ – решение (2.3) для значений параметров $\varepsilon_{k}>0$ и $\mu_{k}$. Для этого решения имеем
\[
\tilde{\mathbf{y}}_{k} \cdot \mathrm{e}=0, \quad \dot{\tilde{\mathbf{y}}}_{k} \cdot \mathrm{e}=1, \quad t=0 .
\]

Периоды в последовательности решений должны сходиться к кратному (относительно $T_{0}$ ) периоду $m T_{0}$. Кроме того, $\varepsilon_{k} \rightarrow 0$. Однако отсюда следует, что начиная с некоторого момента последовательность входит в упомянутую выше окрестность значений (2.20) или (2.30), в которой для всех достаточно малых $\varepsilon$ существует только одно решение системы уравнений. Тогда решения из нашей последовательности должны принадлежать указанному выше семейству с $\varepsilon>0$, что противоречит предположению. Таким образом, утверждение доказано ${ }^{1}$ ).

Из только что доказанного факта следует, что если $\mu(\varepsilon)
eq 0$, то первый отличный от нуля коэффициент в разложении $\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$ – четного порядка; то же самое имеет место для разложения $T=T_{0}\left(1+\tau_{1} \varepsilon+\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right)$, так как для $\varepsilon<0$ решения семейства и соответствующие значения $\mu$ и $T$ должны уже содержаться среди решений для $\varepsilon>0^{2}$ ). В частности,
\[
\mu_{1}=\tau_{1}=0 .
\]

При достаточно малых $|\mu|$ и $|\mathbf{x}|$ периодические решения существуют только для $\mu>0$, или только для $\mu<0$, или только при $\mu=0$.