Пусть $E^{0}$ – конечномерное подпространство $E$, соответствующее собственным значениям $D f_{0}(0)$, лежащим на окружности $|z|=1$.
1) Здесь имеется в виду тождество $\varphi f \Lambda_{g}(x)=\varphi f(x)$. – Прим. перев.
2) $\mathscr{F}$ рассматривается с соответствующей топологией Уитни. Базис открытых множеств $B(f, \varphi)$, содержащих $f \in \mathscr{F}$, определяется заданием строго положительной $C^{0}$-функции $\varphi: E \times(-1,1) \rightarrow \mathrm{R}$ и затем для всех $(x, \mu), B(f, \varphi)=\left\{h \in \mathscr{F}\|\| h(x, \mu)-f(x, \mu)\|<\varphi(x, \mu) ;\| \frac{\partial^{i}}{\partial x^{i}} h(x, \mu)-\right.$ $-\frac{\partial^{i}}{\partial x^{i}} f(x, \mu) \|<\varphi(x, \mu), \quad 1 \leqslant i \leqslant l$ и $\left\|\frac{\partial^{I}}{\partial \mu^{I}} h(x, \mu)-\frac{\partial^{I}}{\partial \mu^{I}} f(x, \mu)\right\|<$ $<\varphi(x, \mu), 1 \leqslant j \leqslant k\}$.

(7.1) Утверждение. (1) $\Lambda_{g} E^{0}=E^{0}$ для всех $g \in G$; (2) на $E^{0}$ можно задать структуру гильбертова пространства таким образом, чтобы $\left.\Lambda_{G}\right|_{E^{0}}=\Lambda_{G}^{0}$ оставалось группой изометрий.

Доказательство. (1) Пусть $c$-простая замкнутая кривая в $\mathscr{C}$, для которой $\bar{c}=c$ (где $\bar{c}$ означает кривую, комплексно-сопряженную с $c$ ), $\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap c=\varnothing$ и Spec $D f_{0}(0) \cap$ $\cap$ Int $c=\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap\{z: \quad|z|=1\}$. Пусть $\quad P=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c}(z I-$ $\left.-D f_{0}(0) \otimes I\right)^{-1} d z$ – оператор, действующий в $E \otimes \mathbb{C}$ – комплексификации $E$. $P$ коммутирует с $\Lambda_{G} \otimes I$, так как он является пределом операторов, обладающих этим свойством. По теореме о спектральном разложении действительного оператора, $P$ является комплексификацией действительного опеparopa $Q: E \rightarrow E$. Ясно, что $Q$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, поэтому подпространство $\operatorname{Im} Q^{1}$ ) инвариантно относительно $\Lambda_{G}$. Однако $\operatorname{Im} Q=E^{0}$.
(2) Пусть $\Gamma$-компактная группа, являющаяся замыканием $\Lambda_{G}^{0}$. Требуемое скалярное произведение на $E^{0}$ задается соотношением $(x, y)=\int_{\Gamma} d \gamma\langle x, \gamma y\rangle$, где $d \gamma$ – мера Хаара на $\Gamma$, а $\langle$,$\rangle – любое скалярное произведение на E^{0}$.
(7.1) Теорема. Отображение $f \in \mathscr{F}$ имеет вблизи точки $(0,0) \in E \times(-1,1)$ локальное центральное $C^{k}$-многообразие $V$, касающееся $E^{0} \times(-1,1)$ и удовлетворяющее условиям:
(1) Каждое $V_{\mu}\left(V_{\mu}=V \cap(E \times\{\mu\})\right)$-класса $C^{l} u \Lambda_{G}-u н-$ вариантно.
(2) Существует сохраняющая слои карта $\varphi: V \rightarrow E^{0} \times$ $\times(-1,1)$, для которой $\varphi \circ \Lambda_{g}=\Lambda_{\mathrm{g}} \circ \varphi$ для всех $g \in G$.

Вся локальная рекуррентность $f_{\mu}$ около нуля сосредоточена на $V_{\mu}$.

Доказательство. (1) Основной момент здесь состоит в том, что построение центрального многообразия в теореме о центральном многообразии можно сделать способом, инвариантным относительно $\Lambda_{G}$. Для $\Lambda_{G}$-инвариантности $V$ достаточно, чтобы первое «пробное центральное многообразие», использующееся при построении, было $\Lambda_{G}$-инвариантным (см. гл. 2 и теорему о центральном многообразии для потоков). Выберем в качестве первого пробного центрального многообразия подпространство $E$, соответствующее
1) $\operatorname{Im} Q$ – подпространство $E$, являющееся образом $E$ при действии оператора Q. – Прим. перев.

$\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap\{z:|z| \geqslant 1\}$, которое $\Lambda_{G}$-инвариантно, что следует из п. (1) утверждения $7.1(1)$.
(2) $\varphi=\left(\left.Q\right|_{E}\right) \times I$, где $Q$ определено при доказательстве утверждения 7.1 (1).