Теорема о центральном многообразии для отображений может быть использована для доказательства соответствующей теоремы для потоков. Здесь мы работаем с зависящими от $t$ отображениями потока, а не с самим векторным полем, так как, имея в виду применение к уравнениям Навье Стокса, мы будем рассматривать векторные поля, порождающие поток, определенные только на плотном множестве. Поскольку мы во многих случаях умеем доказывать, что эти отображения класса $C^{\infty}$, то такое предположение является приемлемым условием для многих уравнений с частными производными (подробности см. в гл. 8).
(2.7) Теорема о центральном многообразии для потоков. Пусть $Z$ – банахово пространство, допускающее $C^{\infty}$ норму ${ }^{1}$ ) всюду, кроме точки 0 , и пусть $F_{t}$ – полупоток класса $C^{0}$, onределенный в окрестности 0 для $0 \leqslant t \leqslant \tau$. Предположим, что $F_{t}(0)=0$ и $F_{t}(x)$ при $t>0$ класса $C^{k+1}$ совместно по $t$ и х. Предположим также, что спектр линейной полугруппы окружности (т. е. $\sigma_{1}$ лежит на мнимой оси) и $e^{t \sigma_{2}}$ лежит внутри единичной окружности на ненулевом расстоянии от нее при $t>0$, т. е. $\sigma_{2}$ лежит в левой полуплоскости. Пусть $Y$-обобщенное собственное подпространство, соответствующее части спектра на единичной окружности, и предположим, что $\operatorname{dim} Y=d<\infty$.

Тогда существует окрестность $V$ точки 0 в $Z$ и $C^{k}$-подмногообразие $M \subset V$ размерности $d$, проходящее через 0 и касающееся $Y_{\text {в }}^{0}$, такое, что
(а) если $x \in M, t>0$ и $F_{t}(x) \in V$, то $F_{t}(x) \in M$;
(б) если $t>0$ и $F_{t}^{n}(x)$ определено и лежит в $V$ для всех $n=0,1,2, \ldots$, то $F_{t}^{n}(x) \rightarrow$ М при $n \rightarrow \infty$.

Формулировка результата в такой форме является наиболее удобной для применений как к обыкновенным, так и к уравнениям в частных производных; причнна этого состоит в том, что мы можем не беспокоиться по поводу «неограни-
1) Отметим, что это предположение на $Z$ не требовалось выше, но здесь оно необходимо. Причина этого будет понятна ниже. Такое банахово пространство часто называется «гладким».

ченности» образующей потока ${ }^{1}$ ). Вместо этого мы пользуемся предположениями о гладкости потока.

Теорема о центральном многообразии для отображений (теорема 2.1) применяется здесь для каждого $F_{t}, t>0$. Однако мы утверждаем, что $V$ и $M$ можно выбрать независимо от $t$. Основная причина этого состоит в том, что отображения $\left\{F_{t}\right\}$ коммутируют там, где они определены: $F_{s} \circ F_{t}=F_{t+s}=$ $=F_{t} \circ F_{s}$; но это, конечно, слишком упрощенное объяснение. При доказательстве теоремы о центральном многообразии мы будем требовать, чтобы $F_{t}$ оставались глобально коммутирующими после того, как мы проведем вырезание с помощью функции $\varphi$. Нам необходимо обеспечить, чтобы при доказательстве леммы 2.4 можно было $\lambda$ выбрать малым (независимо от $t$ ), и все $F_{t}$ были глобально определены и коммутировали.

Для этого сначала мы вырежем $F_{t}$ так, чтобы $F_{t}$ не изменились внутри малого шара $B$ с центром в нуле при $0 \leqslant$ $\leqslant t \leqslant \tau$, а вне $B$ они стали тождественным отображением. Это достигается с помощью совместной непрерывности $F_{t}$ и использования $C^{\infty}$ функции $f$, которая равна единице в окрестности 0 и равна нулю вне $B$. Тогда, определяя
\[
G_{t}(x)=F_{\tau}(x), \quad \text { где } \quad \tau=\int_{0}^{t} f\left(F_{s}(x)\right) d s,
\]

легко видеть, что $G_{t}$ продолжается до глобального полупотока ${ }^{2}$ ) на $Z$, который совпадает с $F_{t}$ в окрестности нуля $(0 \leqslant t \leqslant \tau)$ и равен тождественному вне $B$. Кроме того, $G_{t}$ остается $C^{k+1}$ полупотоком (чтобы это выполнялось, мы требуем гладкости нормы на $Z$ и совместной гладкости по $t$ и $x$ отображений $F_{t}$ при $t>0^{3}$ ).

Теперь мы можем одновременно выбрать масштабный множитель и отрезать $G_{t}$ вне $B$, как в вышеприведенном доказательстве. Так как мы не меняли $F_{t}$ в малой окрестности нуля, то получаем требуемый результат.
(2.8) Упражнение (неединственность центрального многообразия для потоков ). Пусть $X(x, y)=\left(-x, y^{2}\right)$. Решить уравнение $\frac{d(x, y)}{d t}=X(x, y)$ и нарисовать интегральные кривые.
1) То есть соответствующего потоку векторного поля. – Прим. перев.
2) В теории линейных полугрупп это соответствует аналитичности полугруппы; это выполняется, например, для уравнений теплопроводности относительно уравнений Навье – Стокса, см. главы. 8, 9.
${ }^{3}$ ) Дальнейшие детали в работе Ренц [1].

Показать, что поток, порожденный $X$, удовлетворяет условиям теоремы 2.7 с осью $y$ в качестве $Y$. Показать, что ось $y$ является центральным многообразием для потока. Показать, что каждая интегральная кривая в нижней полуплоскости стремится к началу при $t \rightarrow \infty$ и что кривая становится параллельной $y$-оси при $t \rightarrow-\infty$. Показать, что любая кривая, являющаяся объединением неотрицательной полуоси $y$ с любой интегральной кривой нижней полуплоскости, будет центральным многообразием потока $X$ (см. Келли [1], стр. 149).
(2.9) Упражнение (предполагается знание теории линейных полугрупп).

Рассмотрим гильбертово пространство $H$ (или «гладкое» банахово пространство), и пусть $A$ – образующая аналитической полугруппы. Пусть $K: H \rightarrow H$ будет $C^{k+1}$-отображением. Рассмотрим эволюционное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=A x+K(x), \quad x(0)=x_{0} .
\]
(a) Показать, что оно определяет локальный полупоток $F_{t}(x)$ на $H$ класса $C^{k+1}$ по $(t, x)$ для $t>0$. (Указание: peшить интегральное уравнение Дюамеля
\[
x(t)=e^{A t} x_{0}+\int_{0}^{t} e^{(t-s) A} K(x(s)) d s
\]

итерациями или с помощью теоремы о неявной функции на подходящем пространстве отображений (Сегал [1], Марсден [1], Роббин [1]).)
(б) Пусть $K(0)=0, D K(0)=0$. Используя теорему 2.7 , доказать существование инвариантного многообразия для (2.24) при подходящих предположениях о спектре $A$.