Применение изложенной теории продемонстрируем на нескольких примерах. Сначала мы приведем несколько простых примеров, предназначенных лишь для иллюстрации основных моментов. Закончим же мы довольно сложным примером 4B. 8 из механики жидкости (уравнениями Лоренца).
(4В.1) Пример (происхождение примера см. Хирш и Смейл [1], гл. 10, и Зиман [2]). Рассмотрим дифференциальное уравнение $\ddot{x}+{\dot{x}}^3-a\dot{x}+x=0$, являющееся частным случаем уравнения Льенара. Перед тем как применять теорему Хопфа, преобразуем уравнение в систему дифференциальных уравнений на ${\mathbb{R}}^2$. Пусть $y=\dot{x}$. Тогда получим систему
$$\frac{dx}{dt}=y,\frac{dy}{dt}=-y^3+ay-x.$$

Пусть $X_a(x,y)=(y,-y^3+ay-x)$. Тогда $X_a(0,0)=0$ для всех $a$ и
$$d{X}_a(0,0)=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ -1& a\end{array}\right).$$

Собственные значения дифференциала равны $\frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}$. Будем рассматривать те $a$, для которых $|a|<2$. В этом случае $\mathrm{Im}\lambda (a)eq0$, где $\lambda (a)=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}=\frac{a}{2}+i\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}$. Притом для $-2<a<0\mathrm{Re}\lambda (a)<0$, для $a=0\mathrm{Re}\lambda (a)=0$, а для $0<a<2\mathrm{Re}\lambda (a)>0$ и ${\frac{d(\mathrm{Re}\lambda (a))}{da}|}_{a=0}=\frac{1}{2}$. Следовательно, можно применять теорему Хопфа, из которой заключаем, что существует однопараметрическое семейство замкнутых орбит поля $X=(X_a,0)$ в окрестности точки $(0,0,0)$. Чтобы выяснить, являются ли эти орбиты устойчивыми и су, ществуют ли они при $a>0$, рассмотрим векторное поле $X_a$ при $a=0$ вида
$$\begin{array}{c}{X}_0(x,y)=(y,-y^3-x);\text{ здесь }d{X}_0(0,0)=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\\ \lambda (0)=i.\end{array}$$

Напомним, что для использования формулы устойчивости, полученной в предыдущей главе, нам необходимо выбрать такие координаты, в которых
$$d{X}_0(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{Im}\lambda (0)\\ -\mathrm{Im}\lambda (0)& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

Таким образом, уже исходные координаты подходят для вычислений (пример, где это не так, будет приведен ниже).

Вычислим частные производные до третьего порядка поля $X_0$ в точке $(0,0)$ :
$\frac{{\partial }^n{X}^1}{\partial x^i\partial y^{n-1}}(0,0)=0$ для всех $n>1$, так как $X^1(x,y)=y$.
$$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial x_1^2}(0,0)=0,\frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial x_1\partial x_2}(0,0)=0,\frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial x_2^2}(0,0)=0\\ \frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x_1^3}(0,0)=0,\frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x_1^2\partial x_2}(0,0)=0,\frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x_1\partial x_2^2}(0,0)=0,\\ \frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x_2^3}(0,0)=-6.\end{array}$$

Таким образом, $V^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{3\pi }{4}(-6)<0$, и, следовательно, периодические орбиты устойчивы, а бифуркация происходит выше порога критичности ( $a>0$ ).
(4В.2) Пример. Рассмотрим на ${\mathbb{R}}^2$ векторное поле
$$X_{\mu }(x,y)=(x+y,-x^3-x^{2}y+(\mu -2)x+(\mu -1)y),$$
$$\text{ тогда }{X}_{\mu }(0,0)=0\text{ и }$$
$$d{X}_{\mu }(0,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \mu -2& \mu -1\end{array}\right).$$

Собственные значения этой матрицы суть $\frac{\mu \pm \sqrt{{\mu }^2-4}}{2}=$ $=\frac{\mu \pm i\sqrt{4-{\mu }^2}}{2}$. Пусть $-1<\mu <1$, тогда бифуркация рождения цикла происходит при $\mu =0$ и осуществляется с $\mathrm{Im}\lambda (0)=1$. Рассмотрим $X_0(x,y)=(x+y,-x^3-x^{2}y-$ $-2x-y)$. Дифференциал $d{X}_0(0,0)=\left(\begin{array}{rr}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$, как видим, не имеет требуемой формы. Мы должны отыскать такие координаты, в которых $d{X}_0(0,0)$ имел бы вид $\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, т. е. мы должны найти такие векторы ${\hat{e}}_1$ и ${\hat{e}}_2$, что $d{X}_0(0,0){\hat{e}}_1=$ $=-{\hat{e}}_2$ и $d{X}_0(0,0){\hat{e}}_2={\hat{e}}_1$. Векторы ${\hat{e}}_1=(1,-1)$ и ${\hat{e}}_2=(0,1)$.

как раз таковы. (Процедура нахождения ${\hat{e}}_1$ и ${\hat{e}}_2$ сводится к нахождению комплексных собственных векторов $\alpha$ и $\overline{\alpha }$, после чего берется ${\hat{e}}_1=\alpha +\overline{\alpha }$ и ${\hat{e}}_2=i(\alpha -\overline{\alpha })$; детали см. в гл. 4, шаг 1)
$$\begin{array}{r}{X}_0(x{\hat{e}}_1+y{\hat{e}}_2)=X_0(x,y-x)=(y,-x^3-x^2(y-x)-2x-\\ -(y-x))=(y,-x^{2}y-x-y)=y{\hat{e}}_1+(-x^{2}y-x){\hat{e}}_2.\end{array}$$

Поэтому в новой системе координат
$$\begin{array}{c}{X}_0(x,y)=(y,-x^{2}y-x),\\ \frac{{\partial }^n{X}^1}{\partial x^j\partial y^{n-1}}(0,0)=0\text{ для всех }n>1,\\ \frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial x^2}(0,0)=0,\frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial x\partial y}(0,0)=0,\frac{{\partial }^2{X}^2}{\partial y^2}(0,0)=0,\\ \frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x^3}(0,0)=0,\frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x^2\partial y}(0,0)=-2,\frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial x\partial y^2}(0,0)=0,\\ \frac{{\partial }^3{X}^2}{\partial y^3}(0,0)=0.\end{array}$$

Поэтому $V^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{3\pi }{4|\lambda (0)|}(-2)<0$. [6] Цикл устойчив, и бифуркация осуществляется выше порога критичности ( $\mu >0$ ).
(4В.3) Пример. Уравнение Ван-дер-Поля
Уравнение Ван-дер-Поля $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\mu (x^2-1)\frac{dx}{dt}+x=0$ имеет большое значение в теории электровакуумных приборов (подробнее см. Минорский [1], Ла-Саль й Лефшец [1]). Как хорошо известно, для всех $\mu >0$ существует устойчивое колебательное решение этого уравнения. Легко проверить, что условия на собственные значения, необходимые для применения теоремы Хопфа, таковы, что бифуркация происходит справа от $\mu =0$. Однако если $\mu =0$, то уравнение линейно, и поэтому $V^{(n)}(0)=0$ для всех $n$. При $\mu =0$ все окружности с центром в начале координат являются замкнутыми орбитами потока. В силу единственности (п. В. теоремы 3.1), это те замкнутые орбиты, которые даются теоремой Хопфа. Таким образом, мы не можем здесь пользоваться теоремой Хопфа для установления существования устойчивых колебаний при $\mu >0$. И действительно, замкнутая траектория ответвляется от окружности радиуса два (более полное изложение см. у Ла-Саля и Лефшеца [1] стр. 190 1)). Чтобы получить этот результат из теоремы Хопфа, необходимо выбрать систему координат, переводящую окружность радиуса 2
1) См. также Андронов, Витт, Хайкин [1]. Прим. перев.

в начало координат. Фактически, общее уравнение Ван-дерПоля $u^{\prime \prime }+f(u)u^{\prime }+g(u)=0$ может быть преобразовано в общее уравнение Льенара $x^{\prime }=y-F(x),y^{\prime }=-g(x)$ заменой $x=u,y=u^{\prime }+F(u{)}^1)$. При помощи этой замены рассматриваемый пример сводится к (4В.1). Более полная информация об этом содержится в работе Брауэра и Ноэля ([1], стр. 219). [7]
(4В.4) Пример. Пусть векторное поле на ${\mathbb{R}}^3$ задается формулой
$$\begin{array}{rl}{X}_{\mu }(x,y,z)=(\mu x+y+6x^2,-x+\mu y+yz,({\mu }^2-1)y& -x-\\ & -z+x^2).\end{array}$$

Здесь
$$X_{\mu }(0,0,0)=0\text{ и }d{X}_{\mu }(0,0,0)=\left(\begin{array}{rcr}\mu & 1& 0\\ -1& \mu & 0\\ -1& {\mu }^2-1& -1\end{array}\right)$$

с собственными значениями -1 и $\mu \pm i$. При $\mu =0$ собственное подпространство оператора $d{X}_0(0,0,0)$, соответствующее $\pm i$, является линейной оболочкой векторов $(1,0,-1)$ и $(0,1,0)$. Дополнительное подпространство порождается вектором $(0,0,1)$. В этом базисе
$$X_{\mu }(x,y,z)=(\mu x+y+6x^2,-x+\mu y+yz,\mu x+{\mu }^{2}y-z+x^2).$$

Вычислим теперь условия устойчивости. $|\lambda (0)|=1$, а
$$d_3{X}_0^3(0,0,0)=-1\text{. }$$
$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{l}{d}_1{d}_{1}f(0,0)\\ d_1{d}_{2}f(0,0)\\ d_2{d}_{2}f(0,0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}3& 2& 2\\ -1& -1& 1\\ 2& -2& 3\end{array}\right)\cdot \frac{1}{5}\left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6/5\\ -2/5\\ 4/5\end{array}\right)\\ d_l{d}_i{d}_k{\hat{X}}_0^1(0,0)=0,\\ d_1{d}_1{d}_1{\hat{X}}_0^2(0,0)=0,\\ d_1{d}_1{d}_2{\hat{X}}_0^2(0,0)=1\cdot (6/5)=6/5,\\ d_1{d}_2{d}_2{\hat{X}}_0^2(0,0)=3\cdot 1\cdot 4/5=12/5.\end{array}$$

Поэтому $V^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{3\pi }{4}(6/5+12/5)>0$, а следовательно, замкнутая траектория неустойчива.
1) Здесь $F^{\prime }(u)=f(u).-$ Прим. перев.

В качестве упражнений приведем два несложных примера.
(4В.5) Упражнение. Пусть $X(x,y)=A_{\mu }\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+B(x,y)$, где $B(x,y)=(a{x}^2+c{y}^2,d{x}^2+f{y}^2)$, а $A=\left(\begin{array}{rr}\mu & 1\\ -1& \mu \end{array}\right)$. Показать, что ${\mu }_0=0$ — бифуркационное значение параметра и что при условии cf $>$ ad устойчивое периодическое движение возникает при $\mu >0$. (Этот пример является двумерным прототипом уравнений Навье — Стокса; заметим, что $X$ является суммой линейного и квадратичного полей.).
(4В.6) Упражнение (см. Арнольд [2]). Пусть $\dot{z}=z(i\omega +$ $+\mu +cz\overline{z})$ — поле на ${\mathbb{R}}^2$, записанное в комплексных обозначениях. Показать, что бифуркация периодической траектории происходит при $z=\mu =0$. Показать, кроме того, что если $c<0$, то рождающаяся замкнутая орбита устойчива.

Некоторые другие несложные двумерные примеры приведены в книге Минорского [1], стр. 173-177. Там имеется пример колебательной неустойчивости усилителя из теории электрических цепей, а также пример колебаний судов. Читатель может также рассмотреть пример маятника с малым трением под действием вращающего момента $M=\ddot{x}+$, $+\sin x+\epsilon \dot{x}$ (см. Арнольд [1], стр. 85 и Андронов и Хайкин [1]).

Чтобы подготовить читателя к следующему примеру, приведем довольно простое упражнение.
(4В.7) Упражнение. Пусть
$$X_{\mu }(x,y,z,w)=(\mu x+y+z-w,-x+\mu y,-z,-w+y^3).$$

Показать, что рождение устойчивой замкнутой орбиты происходит из точки $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$ при $\mu =0$. (Ответ: $V^{\prime \prime \prime }(0)=-9\pi /4$.)

Следующий пример, являющийся наиболее сложным из всех, которые мы будем обсуждать, имеет ряд интересных особенностей. В частности, имеющаяся здесь бифуркация рождения цикла является субкритической. Кроме того, в системе имеется сложный «аттрактор Лоренца» (см. гл. 12)¹).
(4В.8) Пример (предложен Дж. А. Иорком и Д. Рюэлем). Уравнения Лоренца (см. Лоренц [1]). Уравнения Лоренца это идеализация уравнений движения жидкости в слое постоянной глубины, в котором поддерживается постоянная
1) См. также дополнение II в данной книге. — Прим. перев.

разность температур между поверхностью и дном. Эти уравнения следующие:
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-\sigma x+\sigma y,\\ \frac{dy}{dt}=-xz+rx-y,\\ \frac{dz}{dt}=xy-bz.\end{array}$$

Лоренц [1] пишет: «…x пропорционально интенсивности конвективного движения, $y$ пропорционально разности температур между поднимающимися и опускающимися потоками, одинаковые знаки перед $x$ и $y$ означают, что теплая жидкость поднимается, а холодная опускается. Переменная $z$ пропорциональна отклонению профиля вертикального распределения температуры от линейного; положительное значение показывает, что наибольшие градиенты реализуются вблизи границ». $\sigma =K^{-1}v$ — число Прандтля, где $K$-коэффициент теплового расширения, а $v$ — вязкость; $r$ — число Релея, принимаемое за бифуркационный параметр.

При $r>1$ система имеет два состояния равновесия в точках $x=y=\pm \sqrt{b(r-1)},z=r-1$. Линеаризация , векторного поля в точке $x=y=+\sqrt{b(r-1)},z=r-1$ имеет вид
$$\begin{array}{r}M\equiv \left(\begin{array}{ccc}-\sigma & \sigma & 0\\ 1& -1& -\sqrt{b(r-1)}\\ \sqrt{b(r-1)}& \sqrt{b(r-1)}& -b\end{array}\right)=\\ =d{X}_r(\sqrt{b(r-1)},\sqrt{b(r-1)},r-1).\end{array}$$

Характеристический полином этой матрицы
$${\chi }^3+(\sigma +b+1){\chi }^2+(r+\sigma )b\chi +2\sigma b(r-1)=0$$

имеет один отрицательный и два комплексно-сопряженных корня. Для $\sigma >b+1$ бифуркация рождения цикла происходит при $r=\frac{\sigma (\sigma +b+3)}{\sigma -b-1}$. Покажем это и определим устойчивость. Представим характеристический полином в виде $(\chi -\lambda )(\chi -\overline{\lambda })(\chi -\alpha )=0$, где $\lambda ={\lambda }_1+i{\lambda }_2$, т. е. ${\chi }^3-(2{\lambda }_1+$ $+\alpha ){\chi }^2+(|\lambda {|}^2+2{\lambda }_1\alpha )\chi -|\lambda {|}^2\alpha =0$. Ясно, что он имеет два чисто мнимых корня тогда и только тогда, когда произведение коэффициентов при ${\chi }^2$ и $\chi$ равно свободному члену, т. е. $(\sigma +b+1)(r_0+\sigma )=2\sigma b(r_0-1)$ или $r_0=\frac{\sigma (\sigma +b+3)}{\sigma -b-1}$. Taким образом, мы получили бифуркационное значение. Най-

дем ${\lambda }_1^{\prime }\left(r_0\right)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\chi$, получим
$$\begin{array}{l}-(\sigma +b+1)=2{\lambda }_1+\alpha \\ (r+\sigma )b=|\lambda {|}^2+2{\lambda }_1\alpha ,\\ -2\sigma b(r-1)=|\lambda {|}^2\alpha .\end{array}$$

Таким образом, $\alpha =-(\sigma +b+1+2{\lambda }_1)$ и $(r+\sigma )b\alpha =$ $=2{\lambda }_1{\alpha }^2-2{\lambda }_{1}b(r-1)$, т. e. $-(\sigma +b+1+2{\lambda }_1)(r+\sigma )b=$ $=-2\sigma b(r-1)+2{\lambda }_1{(\sigma +b+1+2{\lambda }_1)}^2$. Дифференцируя по $r_{\text{, }}$ полагая $r=r_0$ и вспоминая, что ${\lambda }_1\left(r_0\right)=0$, получаем, что
$${\lambda }_1^{\prime }\left(r_0\right)=\frac{b(\sigma -b-1)}{2[b(r_0+\sigma )+(\sigma +b+1{)}^2]}>0\text{ для }\sigma >b+1.$$

Таким образом, собственные значения пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью, поэтому при $r_0=\frac{\sigma (\sigma +b+3)}{\sigma -b-1}$ происходит бифуркация рождения цикла. Вычислим $V^{\prime \prime \prime }\left(r_0\right)$ для произвольных $\sigma ,b$ и определим ее значение при физически важных значениях параметров $\sigma =10,b=8/3$. При $r=r_0\propto$ равно коэффициенту при ${\chi }^2$ с обратным знаком, поэтому $\alpha =-(\sigma +b+1);|\lambda {|}^2$ равно коэффициенту при $\chi$, следовательно, $|\lambda {|}^2=\frac{2\sigma b(\sigma +1)}{\sigma -b-1}$. В соответствии с п. I(A) гл. 4A, мы должны найти базис $R^3$, в котором $d{X}_{r_0}(\sqrt{b(r_0-1)},\sqrt{b(r_0-1)},r_0-1)=M=$
$$=\left(\begin{array}{ccc}-\sigma & \sigma & 0\\ 1& -1& -\sqrt{b(r_0-1)}\\ \sqrt{b(r_0-1)}& \sqrt{b(r_0-1)}& -b\end{array}\right)$$

станет равным
$$\left(\begin{array}{ccc}0& \sqrt{\frac{2\sigma b(\sigma +1)}{\sigma -b-1}}& 0\\ -\sqrt{\frac{2\sigma b(\sigma +1)}{\sigma -b-1}}& 0& 0\\ 0& 0& -(\sigma +b+1)\end{array}\right).$$

Базисными векторами будут $u,v$, $w$, где $Mu=-|\lambda |v,Mv=$ $=-|\lambda |u,Mw=\alpha w$. Собственный вектор матрицы $M$, соответствующий собственному значению $\alpha$, равен
$$(-\sigma ,b+1,\sqrt{(\sigma +b+1)(\sigma -b-1)b/(\sigma +1)}).$$

Собственное подпространство $M$, соответствующее собственным значениям $\lambda ,\overline{\lambda }$, является ортогональным дополнением весия $x=y=-\sqrt{b(r-1)},z=r-1$. Показать, что бифуркация рождения цикла происходит при $r_0=\frac{\sigma (\sigma +b+3)}{\sigma -b-1}$, а рождающиеся замкнутые орбиты притягивающие тогда и только тогда, когда это имеет место для другого состояния равновесия.
(4В.11) Упражнение. Доказать, что для $r>1$ матрица
$$\left(\begin{array}{ccc}-\sigma & \sigma & 0\\ 1& -1& -\sqrt{b(r-1)}\\ \sqrt{b(r-1)}& \sqrt{b(r-1)}& -1\end{array}\right)$$

имеет один отрицательный и два комплексно-сопряженных корня.
(4В.12) Упражнение. Пусть через $F$ обозначено векторное поле на $R^3$, определяемое правой частью уравнений Лоренца.
Рис. 4B.1.’
(a) Заметим, что $\mathrm{div}F=-\sigma -b-1-$ постоянная величина. Используя это, оценить порядок величин сжатия по главным направлениям в состояниях равновесия.
(б) Показать, что скалярное произведение $⟨F,V⟩,V=$ $=(x,y,z)$, является квадратичной функцией $x,y,z$. Рассматривая $\frac{d}{dt}⟨V,V⟩$, показать, что решения уравнений Лоренца определены при всех $t$ (заметим, что многие квадратичные уравнения, например $\dot{x}=x^2$, имеют решения, определенные не для всех $t$ ).

(4В.13) Упражнение. Следуюшие уравнения появляются в колебательной реакции Жаботинского (см. Хастингс и Мюррей [1]).
$$\begin{array}{l}\dot{x}=s(y-xy+x-q{x}^2),\\ \dot{y}=\frac{1}{s}(fz-y-xy),\\ \dot{z}=w(x-y).\end{array}$$
(Сравните с уравнениями Лоренца!) Пусть $f$ — бифуркационный параметр, и пусть, например, $s=7,7\times 10,q=8,4\times$ $\times {10}^{-6},w=1.61\times {10}^{-1}$. Показать, что бифуркация рождения
Рис. 4В.2.

цикла происходит при $f=f_c$, где
$$\begin{array}{rl}2q(2+3f_c)=(2f_c+q-1)[& (1-f_c-q)+\\ & +{\{{(1-f_c-q)}^2+4q(1+f_c)\}}^{1/2}].\end{array}$$

Показать, что для этих значений параметров бифуркация субкритическая. С. Хастингс сообщил нам, что бифуркационная диаграмма выглядит, как на рис. 4B. 2 (существование устойчивых замкнутых траекторий для значений параметра выше порога критичности доказано Хастингсом и Мюрреем [1]).