Применение изложенной теории продемонстрируем на нескольких примерах. Сначала мы приведем несколько простых примеров, предназначенных лишь для иллюстрации основных моментов. Закончим же мы довольно сложным примером 4B. 8 из механики жидкости (уравнениями Лоренца).
(4В.1) Пример (происхождение примера см. Хирш и Смейл [1], гл. 10, и Зиман [2]). Рассмотрим дифференциальное уравнение $\ddot{x}+\dot{x}^{3}-a \dot{x}+x=0$, являющееся частным случаем уравнения Льенара. Перед тем как применять теорему Хопфа, преобразуем уравнение в систему дифференциальных уравнений на $\mathbb{R}^{2}$. Пусть $y=\dot{x}$. Тогда получим систему
\[
\frac{d x}{d t}=y, \quad \frac{d y}{d t}=-y^{3}+a y-x .
\]

Пусть $X_{a}(x, y)=\left(y,-y^{3}+a y-x\right)$. Тогда $X_{a}(0,0)=0$ для всех $a$ и
\[
d X_{a}(0,0)=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & a
\end{array}\right) .
\]

Собственные значения дифференциала равны $\frac{a \pm \sqrt{a^{2}-4}}{2}$. Будем рассматривать те $a$, для которых $|a|<2$. В этом случае $\operatorname{Im} \lambda(a)
eq 0$, где $\lambda(a)=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}=\frac{a}{2}+i \frac{\sqrt{4-a^{2}}}{2}$. Притом для $-2<a<0 \operatorname{Re} \lambda(a)<0$, для $a=0 \operatorname{Re} \lambda(a)=0$, а для $0<a<2 \operatorname{Re} \lambda(a)>0$ и $\left.\frac{d(\operatorname{Re} \lambda(a))}{d a}\right|_{a=0}=\frac{1}{2}$. Следовательно, можно применять теорему Хопфа, из которой заключаем, что существует однопараметрическое семейство замкнутых орбит поля $X=\left(X_{a}, 0\right)$ в окрестности точки $(0,0,0)$. Чтобы выяснить, являются ли эти орбиты устойчивыми и су, ществуют ли они при $a>0$, рассмотрим векторное поле $X_{a}$ при $a=0$ вида
\[
\begin{array}{c}
X_{0}(x, y)=\left(y,-y^{3}-x\right) ; \quad \text { здесь } d X_{0}(0,0)=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \\
\lambda(0)=i .
\end{array}
\]

Напомним, что для использования формулы устойчивости, полученной в предыдущей главе, нам необходимо выбрать такие координаты, в которых
\[
d X_{0}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \operatorname{Im} \lambda(0) \\
-\operatorname{Im} \lambda(0) & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, уже исходные координаты подходят для вычислений (пример, где это не так, будет приведен ниже).

Вычислим частные производные до третьего порядка поля $X_{0}$ в точке $(0,0)$ :
$\frac{\partial^{n} X^{1}}{\partial x^{i} \partial y^{n-1}}(0,0)=0$ для всех $n>1$, так как $X^{1}(x, y)=y$.
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial x_{2}^{2}}(0,0)=0 \\
\frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x_{1}^{2} \partial x_{2}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}^{2}}(0,0)=0, \\
\frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x_{2}^{3}}(0,0)=-6 .
\end{array}
\]

Таким образом, $V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{3 \pi}{4}(-6)<0$, и, следовательно, периодические орбиты устойчивы, а бифуркация происходит выше порога критичности ( $a>0$ ).
(4В.2) Пример. Рассмотрим на $\mathbb{R}^{2}$ векторное поле
\[
X_{\mu}(x, y)=\left(x+y,-x^{3}-x^{2} y+(\mu-2) x+(\mu-1) y\right),
\]
\[
\text { тогда } X_{\mu}(0,0)=0 \text { и }
\]
\[
d X_{\mu}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
\mu-2 & \mu-1
\end{array}\right) .
\]

Собственные значения этой матрицы суть $\frac{\mu \pm \sqrt{\mu^{2}-4}}{2}=$ $=\frac{\mu \pm i \sqrt{4-\mu^{2}}}{2}$. Пусть $-1<\mu<1$, тогда бифуркация рождения цикла происходит при $\mu=0$ и осуществляется с $\operatorname{Im} \lambda(0)=1$. Рассмотрим $X_{0}(x, y)=\left(x+y,-x^{3}-x^{2} y-\right.$ $-2 x-y)$. Дифференциал $d X_{0}(0,0)=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right)$, как видим, не имеет требуемой формы. Мы должны отыскать такие координаты, в которых $d X_{0}(0,0)$ имел бы вид $\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$, т. е. мы должны найти такие векторы $\hat{e}_{1}$ и $\hat{e}_{2}$, что $d X_{0}(0,0) \hat{e}_{1}=$ $=-\hat{e}_{2}$ и $d X_{0}(0,0) \hat{e}_{2}=\hat{e}_{1}$. Векторы $\hat{e}_{1}=(1,-1)$ и $\hat{e}_{2}=(0,1)$.

как раз таковы. (Процедура нахождения $\hat{e}_{1}$ и $\hat{e}_{2}$ сводится к нахождению комплексных собственных векторов $\alpha$ и $\bar{\alpha}$, после чего берется $\hat{e}_{1}=\alpha+\bar{\alpha}$ и $\hat{e}_{2}=i(\alpha-\bar{\alpha})$; детали см. в гл. 4, шаг 1)
\[
\begin{array}{r}
X_{0}\left(x \hat{e}_{1}+y \hat{e}_{2}\right)=X_{0}(x, y-x)=\left(y,-x^{3}-x^{2}(y-x)-2 x-\right. \\
-(y-x))=\left(y,-x^{2} y-x-y\right)=y \hat{e}_{1}+\left(-x^{2} y-x\right) \hat{e}_{2} .
\end{array}
\]

Поэтому в новой системе координат
\[
\begin{array}{c}
X_{0}(x, y)=\left(y,-x^{2} y-x\right), \\
\frac{\partial^{n} X^{1}}{\partial x^{j} \partial y^{n-1}}(0,0)=0 \text { для всех } n>1, \\
\frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial x^{2}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial x \partial y}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{2} X^{2}}{\partial y^{2}}(0,0)=0, \\
\frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x^{3}}(0,0)=0, \quad \frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x^{2} \partial y}(0,0)=-2, \quad \frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial x \partial y^{2}}(0,0)=0, \\
\frac{\partial^{3} X^{2}}{\partial y^{3}}(0,0)=0 .
\end{array}
\]

Поэтому $V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|}(-2)<0$. [6] Цикл устойчив, и бифуркация осуществляется выше порога критичности ( $\mu>0$ ).
(4В.3) Пример. Уравнение Ван-дер-Поля
Уравнение Ван-дер-Поля $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\mu\left(x^{2}-1\right) \frac{d x}{d t}+x=0$ имеет большое значение в теории электровакуумных приборов (подробнее см. Минорский [1], Ла-Саль й Лефшец [1]). Как хорошо известно, для всех $\mu>0$ существует устойчивое колебательное решение этого уравнения. Легко проверить, что условия на собственные значения, необходимые для применения теоремы Хопфа, таковы, что бифуркация происходит справа от $\mu=0$. Однако если $\mu=0$, то уравнение линейно, и поэтому $V^{(n)}(0)=0$ для всех $n$. При $\mu=0$ все окружности с центром в начале координат являются замкнутыми орбитами потока. В силу единственности (п. В. теоремы 3.1), это те замкнутые орбиты, которые даются теоремой Хопфа. Таким образом, мы не можем здесь пользоваться теоремой Хопфа для установления существования устойчивых колебаний при $\mu>0$. И действительно, замкнутая траектория ответвляется от окружности радиуса два (более полное изложение см. у Ла-Саля и Лефшеца [1] стр. 190 1)). Чтобы получить этот результат из теоремы Хопфа, необходимо выбрать систему координат, переводящую окружность радиуса 2
1) См. также Андронов, Витт, Хайкин [1]. Прим. перев.

в начало координат. Фактически, общее уравнение Ван-дерПоля $u^{\prime \prime}+f(u) u^{\prime}+g(u)=0$ может быть преобразовано в общее уравнение Льенара $x^{\prime}=y-F(x), y^{\prime}=-g(x)$ заменой $\left.x=u, y=u^{\prime}+F(u)^{1}\right)$. При помощи этой замены рассматриваемый пример сводится к (4В.1). Более полная информация об этом содержится в работе Брауэра и Ноэля ([1], стр. 219). [7]
(4В.4) Пример. Пусть векторное поле на $\mathbb{R}^{3}$ задается формулой
\[
\begin{aligned}
X_{\mu}(x, y, z)=\left(\mu x+y+6 x^{2},-x+\mu y+y z,\left(\mu^{2}-1\right) y\right. & -x- \\
& \left.-z+x^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь
\[
X_{\mu}(0,0,0)=0 \quad \text { и } \quad d X_{\mu}(0,0,0)=\left(\begin{array}{rcr}
\mu & 1 & 0 \\
-1 & \mu & 0 \\
-1 & \mu^{2}-1 & -1
\end{array}\right)
\]

с собственными значениями -1 и $\mu \pm i$. При $\mu=0$ собственное подпространство оператора $d X_{0}(0,0,0)$, соответствующее $\pm i$, является линейной оболочкой векторов $(1,0,-1)$ и $(0,1,0)$. Дополнительное подпространство порождается вектором $(0,0,1)$. В этом базисе
\[
X_{\mu}(x, y, z)=\left(\mu x+y+6 x^{2},-x+\mu y+y z, \mu x+\mu^{2} y-z+x^{2}\right) .
\]

Вычислим теперь условия устойчивости. $|\lambda(0)|=1$, а
\[
d_{3} X_{0}^{3}(0,0,0)=-1 \text {. }
\]
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{l}
d_{1} d_{1} f(0,0) \\
d_{1} d_{2} f(0,0) \\
d_{2} d_{2} f(0,0)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}
3 & 2 & 2 \\
-1 & -1 & 1 \\
2 & -2 & 3
\end{array}\right) \cdot \frac{1}{5}\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
6 / 5 \\
-2 / 5 \\
4 / 5
\end{array}\right) \\
d_{l} d_{i} d_{k} \hat{X}_{0}^{1}(0,0)=0, \\
d_{1} d_{1} d_{1} \widehat{X}_{0}^{2}(0,0)=0, \\
d_{1} d_{1} d_{2} \widehat{X}_{0}^{2}(0,0)=1 \cdot(6 / 5)=6 / 5, \\
d_{1} d_{2} d_{2} \widehat{X}_{0}^{2}(0,0)=3 \cdot 1 \cdot 4 / 5=12 / 5 .
\end{array}
\]

Поэтому $V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{3 \pi}{4}(6 / 5+12 / 5)>0$, а следовательно, замкнутая траектория неустойчива.
1) Здесь $F^{\prime}(u)=f(u) .-$ Прим. перев.

В качестве упражнений приведем два несложных примера.
(4В.5) Упражнение. Пусть $X(x, y)=A_{\mu}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+B(x, y)$, где $B(x, y)=\left(a x^{2}+c y^{2}, d x^{2}+f y^{2}\right)$, а $A=\left(\begin{array}{rr}\mu & 1 \\ -1 & \mu\end{array}\right)$. Показать, что $\mu_{0}=0$ — бифуркационное значение параметра и что при условии cf $>$ ad устойчивое периодическое движение возникает при $\mu>0$. (Этот пример является двумерным прототипом уравнений Навье — Стокса; заметим, что $X$ является суммой линейного и квадратичного полей.).
(4В.6) Упражнение (см. Арнольд [2]). Пусть $\dot{z}=z(i \omega+$ $+\mu+c z \bar{z})$ — поле на $\mathbb{R}^{2}$, записанное в комплексных обозначениях. Показать, что бифуркация периодической траектории происходит при $z=\mu=0$. Показать, кроме того, что если $c<0$, то рождающаяся замкнутая орбита устойчива.

Некоторые другие несложные двумерные примеры приведены в книге Минорского [1], стр. 173-177. Там имеется пример колебательной неустойчивости усилителя из теории электрических цепей, а также пример колебаний судов. Читатель может также рассмотреть пример маятника с малым трением под действием вращающего момента $M=\ddot{x}+$, $+\sin x+\varepsilon \dot{x}$ (см. Арнольд [1], стр. 85 и Андронов и Хайкин [1]).

Чтобы подготовить читателя к следующему примеру, приведем довольно простое упражнение.
(4В.7) Упражнение. Пусть
\[
X_{\mu}(x, y, z, w)=\left(\mu x+y+z-w,-x+\mu y,-z,-w+y^{3}\right) .
\]

Показать, что рождение устойчивой замкнутой орбиты происходит из точки $(x, y, z, w)=(0,0,0,0)$ при $\mu=0$. (Ответ: $V^{\prime \prime \prime}(0)=-9 \pi / 4$.)

Следующий пример, являющийся наиболее сложным из всех, которые мы будем обсуждать, имеет ряд интересных особенностей. В частности, имеющаяся здесь бифуркация рождения цикла является субкритической. Кроме того, в системе имеется сложный «аттрактор Лоренца» (см. гл. 12)¹).
(4В.8) Пример (предложен Дж. А. Иорком и Д. Рюэлем). Уравнения Лоренца (см. Лоренц [1]). Уравнения Лоренца это идеализация уравнений движения жидкости в слое постоянной глубины, в котором поддерживается постоянная
1) См. также дополнение II в данной книге. — Прим. перев.

разность температур между поверхностью и дном. Эти уравнения следующие:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\sigma x+\sigma y, \\
\frac{d y}{d t}=-x z+r x-y, \\
\frac{d z}{d t}=x y-b z .
\end{array}
\]

Лоренц [1] пишет: «…x пропорционально интенсивности конвективного движения, $y$ пропорционально разности температур между поднимающимися и опускающимися потоками, одинаковые знаки перед $x$ и $y$ означают, что теплая жидкость поднимается, а холодная опускается. Переменная $z$ пропорциональна отклонению профиля вертикального распределения температуры от линейного; положительное значение показывает, что наибольшие градиенты реализуются вблизи границ». $\sigma=K^{-1} v$ — число Прандтля, где $K$-коэффициент теплового расширения, а $v$ — вязкость; $r$ — число Релея, принимаемое за бифуркационный параметр.

При $r>1$ система имеет два состояния равновесия в точках $x=y= \pm \sqrt{b(r-1)}, z=r-1$. Линеаризация , векторного поля в точке $x=y=+\sqrt{b(r-1)}, z=r-1$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
M \equiv\left(\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
1 & -1 & -\sqrt{b(r-1)} \\
\sqrt{b(r-1)} & \sqrt{b(r-1)} & -b
\end{array}\right)= \\
=d X_{r}(\sqrt{b(r-1)}, \sqrt{b(r-1)}, r-1) .
\end{aligned}
\]

Характеристический полином этой матрицы
\[
\chi^{3}+(\sigma+b+1) \chi^{2}+(r+\sigma) b \chi+2 \sigma b(r-1)=0
\]

имеет один отрицательный и два комплексно-сопряженных корня. Для $\sigma>b+1$ бифуркация рождения цикла происходит при $r=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$. Покажем это и определим устойчивость. Представим характеристический полином в виде $(\chi-\lambda)(\chi-\bar{\lambda})(\chi-\alpha)=0$, где $\lambda=\lambda_{1}+i \lambda_{2}$, т. е. $\chi^{3}-\left(2 \lambda_{1}+\right.$ $+\alpha) \chi^{2}+\left(|\lambda|^{2}+2 \lambda_{1} \alpha\right) \chi-|\lambda|^{2} \alpha=0$. Ясно, что он имеет два чисто мнимых корня тогда и только тогда, когда произведение коэффициентов при $\chi^{2}$ и $\chi$ равно свободному члену, т. е. $(\sigma+b+1)\left(r_{0}+\sigma\right)=2 \sigma b\left(r_{0}-1\right)$ или $r_{0}=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$. Taким образом, мы получили бифуркационное значение. Най-

дем $\lambda_{1}^{\prime}\left(r_{0}\right)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\chi$, получим
\[
\begin{array}{l}
-(\sigma+b+1)=2 \lambda_{1}+\alpha \\
(r+\sigma) b=|\lambda|^{2}+2 \lambda_{1} \alpha, \\
-2 \sigma b(r-1)=|\lambda|^{2} \alpha .
\end{array}
\]

Таким образом, $\alpha=-\left(\sigma+b+1+2 \lambda_{1}\right)$ и $(r+\sigma) b \alpha=$ $=2 \lambda_{1} \alpha^{2}-2 \lambda_{1} b(r-1)$, т. e. $-\left(\sigma+b+1+2 \lambda_{1}\right)(r+\sigma) b=$ $=-2 \sigma b(r-1)+2 \lambda_{1}\left(\sigma+b+1+2 \lambda_{1}\right)^{2}$. Дифференцируя по $r_{\text {, }}$ полагая $r=r_{0}$ и вспоминая, что $\lambda_{1}\left(r_{0}\right)=0$, получаем, что
\[
\lambda_{1}^{\prime}\left(r_{0}\right)=\frac{b(\sigma-b-1)}{2\left[b\left(r_{0}+\sigma\right)+(\sigma+b+1)^{2}\right]}>0 \quad \text { для } \quad \sigma>b+1 .
\]

Таким образом, собственные значения пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью, поэтому при $r_{0}=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$ происходит бифуркация рождения цикла. Вычислим $V^{\prime \prime \prime}\left(r_{0}\right)$ для произвольных $\sigma, b$ и определим ее значение при физически важных значениях параметров $\sigma=10, b=8 / 3$. При $r=r_{0} \propto$ равно коэффициенту при $\chi^{2}$ с обратным знаком, поэтому $\alpha=-(\sigma+b+1) ;|\lambda|^{2}$ равно коэффициенту при $\chi$, следовательно, $|\lambda|^{2}=\frac{2 \sigma b(\sigma+1)}{\sigma-b-1}$. В соответствии с п. I(A) гл. 4A, мы должны найти базис $R^{3}$, в котором $d X_{r_{0}}\left(\sqrt{b\left(r_{0}-1\right)}, \sqrt{b\left(r_{0}-1\right)}, r_{0}-1\right)=M=$
\[
=\left(\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
1 & -1 & -\sqrt{b\left(r_{0}-1\right)} \\
\sqrt{b\left(r_{0}-1\right)} & \sqrt{b\left(r_{0}-1\right)} & -b
\end{array}\right)
\]

станет равным
\[
\left(\begin{array}{ccc}
0 & \sqrt{\frac{2 \sigma b(\sigma+1)}{\sigma-b-1}} & 0 \\
-\sqrt{\frac{2 \sigma b(\sigma+1)}{\sigma-b-1}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -(\sigma+b+1)
\end{array}\right) .
\]

Базисными векторами будут $u, v$, $w$, где $M u=-|\lambda| v, M v=$ $=-|\lambda| u, M w=\alpha w$. Собственный вектор матрицы $M$, соответствующий собственному значению $\alpha$, равен
\[
(-\sigma, b+1, \sqrt{(\sigma+b+1)(\sigma-b-1) b /(\sigma+1)}) .
\]

Собственное подпространство $M$, соответствующее собственным значениям $\lambda, \bar{\lambda}$, является ортогональным дополнением весия $x=y=-\sqrt{b(r-1)}, z=r-1$. Показать, что бифуркация рождения цикла происходит при $r_{0}=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$, а рождающиеся замкнутые орбиты притягивающие тогда и только тогда, когда это имеет место для другого состояния равновесия.
(4В.11) Упражнение. Доказать, что для $r>1$ матрица
\[
\left(\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
1 & -1 & -\sqrt{b(r-1)} \\
\sqrt{b(r-1)} & \sqrt{b(r-1)} & -1
\end{array}\right)
\]

имеет один отрицательный и два комплексно-сопряженных корня.
(4В.12) Упражнение. Пусть через $F$ обозначено векторное поле на $R^{3}$, определяемое правой частью уравнений Лоренца.
Рис. 4B.1.’
(a) Заметим, что $\operatorname{div} F=-\sigma-b-1-$ постоянная величина. Используя это, оценить порядок величин сжатия по главным направлениям в состояниях равновесия.
(б) Показать, что скалярное произведение $\langle F, V\rangle, V=$ $=(x, y, z)$, является квадратичной функцией $x, y, z$. Рассматривая $\frac{d}{d t}\langle V, V\rangle$, показать, что решения уравнений Лоренца определены при всех $t$ (заметим, что многие квадратичные уравнения, например $\dot{x}=x^{2}$, имеют решения, определенные не для всех $t$ ).

(4В.13) Упражнение. Следуюшие уравнения появляются в колебательной реакции Жаботинского (см. Хастингс и Мюррей [1]).
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=s\left(y-x y+x-q x^{2}\right), \\
\dot{y}=\frac{1}{s}(f z-y-x y), \\
\dot{z}=w(x-y) .
\end{array}
\]
(Сравните с уравнениями Лоренца!) Пусть $f$ — бифуркационный параметр, и пусть, например, $s=7,7 \times 10, q=8,4 \times$ $\times 10^{-6}, w=1.61 \times 10^{-1}$. Показать, что бифуркация рождения
Рис. 4В.2.

цикла происходит при $f=f_{c}$, где
\[
\begin{aligned}
2 q\left(2+3 f_{c}\right)=\left(2 f_{c}+q-1\right)[ & \left(1-f_{c}-q\right)+ \\
& \left.+\left\{\left(1-f_{c}-q\right)^{2}+4 q\left(1+f_{c}\right)\right\}^{1 / 2}\right] .
\end{aligned}
\]

Показать, что для этих значений параметров бифуркация субкритическая. С. Хастингс сообщил нам, что бифуркационная диаграмма выглядит, как на рис. 4B. 2 (существование устойчивых замкнутых траекторий для значений параметра выше порога критичности доказано Хастингсом и Мюрреем [1]).