Пусть $X_{\mu}: P \rightarrow T(P)$ — векторное поле класса $C^{k}$ на многообразии $P$, гладко зависящее от действительного параметра $\mu$. Обозначим через $F_{t}^{\mu}$ поток, порожденный полем $X_{\mu}$. Будем считать, что $p_{0}$ является особой точкой $X_{\mu}$ для всех $\mu$, причем притягивающей для $\mu<\mu_{0}$ и неустойчивой для $\mu>\mu_{0}$. Напомним (теорема 1.4), что условие устойчивости $p_{0}$ состоит в том, что $\sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$. Следовательно, при $\mu=\mu_{0}$ некоторая часть спектра $d X_{\mu}\left(p_{0}\right)$ пересекает мнимую ось. Природа бифуркации, которая имеет место в точке $\left(p_{0}, \mu_{0}\right)$, зависит от того, как это пересечение происходит (она зависит, например, от размерности обобщенного собственного подпространства ${ }^{2}$ ) оператора $d X_{\mathrm{u}}\left(p_{0}\right)$, соответствующего части спектра, пересекающей ось). Если $P$ конечномерное пространство, то суцествуют теоремы, дающие необходимые условия, при которых происходят определенные типы бифуркаций. Если $P$ бесконечномерно, мы можем тем не менее свести задачу к конечной размерности, применяя теорему о центральном многообразии и используя следующую простую, но полезную конструкцию. Обозначим через $\psi$ отображение через единицу времени потока $F_{t}=\left(F_{t}^{\mu}, \mu\right)$ на $P \times \operatorname{R}$. Как мы покажем в гл. $2 \mathrm{~A}, \sigma\left(d \psi\left(p_{0}, \mu_{0}\right)\right)=e^{\sigma\left(d X\left(p_{0}, \mu_{0}\right)\right)}$. Поэтому $\sigma\left(d \psi\left(p_{0}, \mu_{0}\right)\right)=e^{\sigma\left(d X_{\mu_{0}}\left(p_{0}\right)\right)} \cup\{1\} . \quad K \quad \psi$ теперь можно применить следующую теорему (подробности см. в гл. 2-4):
(1.10) Теорема о центральном многообразии (Келли [1], Хирш, Пью и Шуб [1], Хартман [1], Такенс [2] и др.). Пусть
1) См. Шлихтинг [1].
2) Определение и основные свойства собраны в главе 2А.

$\psi$-отображение окрестности точки $\alpha_{0}$ банахова многообразия $P$ в $P$. Предположим, что $\psi$ имеет $k$ непрерывных производных и $\psi\left(\alpha_{0}\right)=\alpha_{0}$. Будем также предполагать, что $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$ имеет спектральный радиус 1 и что спектр $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$ расщепляется на две части: одна лежит на единичной окружности, а другая находится на ненулевом расстоянии от единичной окружности. Обозначим через $Y$ обобщенное собственное подпространство оператора $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$, соответствующее части спектра, лежащей на единичной окружности; будем предполагать, что размерность $Y \operatorname{dim} Y=d<\infty$. Тогда в $P$ существует окрестность $V$ точки $\alpha_{0}$ и $C^{k-1}$-подмногообразие $M$ размерности $d$, лежащее в $V$, проходящее через точку $\alpha_{0}$ и касающееся $Y$ в точке $\alpha_{0}$. Оно называется центральным многообразием точки $\alpha_{0}$ и обладает следующими свойствами:
(a) (локальная инвариантность): если $x \in M u \psi(x) \in V$, то $\psi(x) \in M$;
(б) (локальная устойчивость): если $\psi^{n}(x) \in V$ для всех $n=0,1,2, \ldots$, то $\psi^{n}(x) \rightarrow$ м при $n \rightarrow \infty$.
(1.11) Замечание. Из доказательства теоремы о центральном многообразии будет следовать, что если $\psi$-определенное выше отображение за единицу времени потока $F_{t}$, то центральное многообразие $M$ можно выбрать так, что свойства (а) и (б) выполняются для $F_{t}$ при всех $t>0$.
(1.12) Замечание. Теорема о центральном многообразии не всегда верна для отображения $\psi$ класса $C^{\infty}$; так как $\psi \in$ $\in C^{k}$ для всех $k$, то мы получаем последовательность центральных многообразий $M^{k}$, однако их пересечение может быть пустым (см. замечания 2.6, относящиеся к дифференцируемости $M$ ).

Нас будет особенно интересовать случай, когда при бифуркации возникают устойчивые замкнутые орбиты. Пусть $X_{\mu}$ обозначает то же, что и выше, и предположим, что при $\mu=\mu_{0}$ (соответственно $\left.\mu>\mu_{0}\right) \sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right.$ ) имеет два изолированных ненулевых простых ${ }^{1}$ ) комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, таких, что $\operatorname{Re} \lambda(\mu)=0$ (сгответственно $>0$ ) и $\left.\frac{d(\operatorname{Re} \lambda(\mu))}{d \mu}\right|_{\mu=\mu_{0}}>0$.

Предположим также, что остальная часть $\sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right)$ остается в левой полуплоскости на ненулевом расстоянии от мнимой оси. Используя теорему о центральном многообразии, мы получаем 3 -многообразие $M \in P \times R$, касательное
1) Простота означает, что обсбщенное собственное пространство соб. ственного значения одномерно.

к собственному подпространству $\lambda\left(\mu_{0}\right), \overline{\lambda\left(\mu_{0}\right)}$ и к $\mu$-оси при $\mu=\mu_{0}$, локально инвариантное относительно потока $X$ и содержащее всю локальную рекуррентность ${ }^{1}$ ). Теперь получаем аналогичную задачу для векторного поля размерности 2: $\hat{X}_{\mu}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow R^{2}$. Можно применить теорему Хопфа для размерности 2 (см. подробности в гл. 3, а также рис. 1.4, 1.5).
(1.13) Теорема Хопфа для векторных полей (Пуанкаре [1], А. А. Андронов и А. Витт [1], Хопф [1], Рюэль и Такенс [1], Чейфи [1] и др.). Пусть $X_{\mu}$-векторное поле класса $C^{k}(k \geqslant 4)$ на $\mathbb{R}^{2}, X_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$, и пусть поле $X=$ $=\left(X_{\mu}, 0\right)$ также класса $C^{k}$. Предположим, что $d X_{\mu}(0,0)$ имеет два различных простых комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, таких, что $\operatorname{Re} \lambda(\mu)<0$ для $\mu<0 ; \operatorname{Re} \lambda(\mu)=0$ для $\mu=0$ и $\operatorname{Re} \lambda(\mu)>0$ для $\mu>0$. Будем также предполагать, что $\left.\frac{d \operatorname{Re} \lambda(\mu)}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$. Тогда существует $C^{k-2}$-функция $\mu:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow R, \mu(0)=0$, такая, что для любого $x_{1}
eq 0^{2}$ ) точка $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right.$ ) лежит на замкнутой орбите потока $X$, имеющей период $\approx 2 \pi /|\lambda(0)|$ и радиус, растущий как $\sqrt{\mu}$. Существует такая окрестность $U$ точки $(0,0,0)$ в $\mathbb{R}^{3}$, в которой любая замкнутая орбита поля $X$ совпадает с одной из орбит полученного семейства. Кроме того, если 0 является «слабым аттрактором» ${ }^{3}$ ) для $X_{0}$, то $\mu\left(x_{1}\right)>0$ для всех $x_{1}
eq 0 \quad и$ замкнутые орбиты-притягивающие (рис. 1.4, 1.5).

Если взамен пары комплексно-сопряженных собственных значений мнимую ось пересекает действительное собственное значение, то вместо рождения замкнутой орбиты особая точка распадается на две, как это было в примере шарика в обруче (см. также упр. 1.16).

После того как появились устойчивые замкнутые орбиты, можно поинтересоваться, как будут выглядеть дальнейшие бифуркации. Так, например, нетрудно представить себе рождение инвариантного 2 -мерного тора из замкнутой орбиты
1) Под локальной рекуррентностью авторы подразумевают множество неблуждающих точек потока, содержащихся в окрестности рассматриваемой точки. О неблуждающих точках см. Немыцкий и Степанов [1].Прим. перев.
2) Здесь ( $x_{1}, x_{2}$ )- координаты на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ — Прим. перев.
s) Это условие подробно разбирается ниже, в гл. 4А оно сводится к специальному условию на $X$. См. также гл. 4С. Случай, когда $d \operatorname{Re} \lambda(\mu) / d \mu=0$, обсуждается в гл. ЗА. В гл. ЗВ показывается, что термин «слабый аттрактор» можно заменить на «асимптотически устойчивый». Обсуждение общего случая см. у Рюэля и Такенса [1], Сотомайера [1], Ньюхауса и Пейлиса [1], а также в гл. 7.

(рис. 1.14). Такое явление действительно может произойти. Для того чтобы понять, как это происходит, рассмотрим устойчивую замкнутую орбиту потока $F_{t}^{\mu}$. Свяжем с этой орбитой отображение Пуанкаре. Для построения отображения Пуанкаре возьмем точку $x_{0}$. на орбите и многообразие $N$ коразмерности 1, проходящее через $x_{0}$ трансверсально орбите.
Рис 1.14.

Отображение Пуанкаре $P_{\mu}$ переводит любую точку $x$ из малой окрестности точки $x_{0}$ на $N$ в ту точку, в которой $F_{t}^{\mu}(x)$ пересекает $N$ (рис. 1.15). Оно является диффеоморфизмом $U$ на $V=P_{\mu}(U) \subseteq N, P_{\mu}\left(x_{0}\right)=x_{0}$ (см. гл. $2 \mathrm{~B}$, где приведены свойства отображения Пуанкаре). Орбита является устойчивой, если $\sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}\right)\right) \subset\{z|| z \mid<$ $<1\}$, и является неустойчивой, если существует $z \in \sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}\right)\right)$ с $|z|>1$. Мы будем рассматривать, как и выше, $C^{k}$-векторное поле $X_{\mu}: P \rightarrow T P$ на банаховом многообразии $P$, для которого $X_{\mu}\left(p_{0}\right)=0$ для всех $\mu$. Будем считать, что $p_{0}$ устойчива для

Рис. 1.15. $\mu<\mu_{0}$, а при переходе через значение $\mu=\mu_{0}$ происходит рождение устойчивой замкнутой орбиты $\gamma(\mu)$, и $p_{0}$ станет неустойчивой. Пусть $P_{\mu}$ — отображение Пуанкаре, связанное с $\gamma(\mu)$, и пусть $x_{0}(\mu) € \gamma(\mu)$. Будем далее предполагать, что при $\mu=\mu_{1}$ единичную окружность пересекают два изолированных простых комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ линейного отображения $d P_{\mu}\left(x_{0}(\mu)\right)$, где $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=\mu_{1}}>0$, а остальная часть спектра $\sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}(\mu)\right)\right)$ остается внутри единичной окружности на ненулевом расстоянии от нее. Тогда мы можем применить теорему о центральном многообразии к отображению $P=\left(P_{\mu}, \mu\right)$ и получить для $P$, как и выше, локально инвариантное трехмерное многообразие. Затем можно использовать бифуркационную теорему для диффеоморфизмов (п. 1.14 ниже) и получить однопараметрическое семейство инвариантны устойчивых замкнутых кривых для отображений $P_{\mu}$ при $\mu>\mu_{1}$. Для поля $X_{\mu}$ замкнутой кривой соответствует устойчивый инвариантный 2-тор потока $F_{t}^{\mu}$ (рис. 1.16).
(1.14) Бифуркационная теорема для диффеоморфизмов (Сакер [1], Неймарк [2], Рюэль и Такенс [1]). Пусть дано однопараметрическое семейство $C^{k}$-диффеоморфизмов $(k \geqslant 5)$, удовлетворяющее условиям:
(a) $P_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(б) $\partial л я \mu<0, \sigma\left(d P_{\mu}(0)\right) \subset\{z|| z \mid<1\}$;
(в) для $\mu=0(\mu>0), \sigma\left(d P_{\mu}(0)\right)$ имеет два изолированных, простых, комплексно-сопряженных собственных значе-
Рис. 1.16. ния $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, для которых $|\lambda(\mu)|=1(|\lambda(\mu)|>1)$, а остальная часть спектра $\sigma\left(d P_{\mu}(0)\right)$ лежит внутри единичной окружности;
(г) $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$.
Тогда при некотором достаточно малом $\varepsilon>0$ ( $и$ двух дополнительных предположениях, которые будут сделаны в процессе доказательства теоремы) существует непрерывное однопараметрическое семейство инвариантных устойчивых замкнутых кривых отображений $P_{\mu}$, по одной для каждого $\mu \in(0, \varepsilon)$.
(1.15) Замечание. В гл. 8 и 9 мы обсудим, как бифуркационные теоремы о рождении замкнутых орбит и инвариантных торов могут быть применены к уравнениям Навье Стокса. Одна из основных трудностей состоит в требовании гладкости потока, которую мы преодолеем, используя общие теоремы о гладкости (гл. 8A). Юдович [1-11], Иосс [1-6] и Джозеф и Сэттинджер использовали для получения этих результатов оригинальный метод Хопфа. Рюэль и Такенс [1] выдвинули гипотезу, что дальнейшие бифуркации приводят к многомерному устойчивому инвариантному тору и что поток становится турбулентным, когда интегральные кривые — притягиваются к «странному аттрактору» (странные аттракторы, как показано, в изобилии существуют на $k$-мерном торе при $k \geqslant 4)$; см. гл. 9. Аттракторы также могут появляться спонтанно (см. 4В. 8 и гл. 12). Вопрос о том, что происходит с системой при переходе (по параметру) от особой точки к странному аттрактору, сложен и требует дальнейшего изучения. Важные работы в этом направлении принадлежат Такенсу $[1,2]$, Ньюхаусу [1] и Ньюхаусу и Пейксото [1] ${ }^{1}$ ).
(1.16) Упражнение (а). Докажите следующее утверждение.
Теорема. Пусть $\mathrm{H}$-гильбертово пространство (или многообразие) и $\Phi_{\mu}: H \rightarrow H$-отображение, определенное для
Рис. 1.17.

каждого $\mu \in \mathbb{R}$ и такое, что отображение $(\mu, x) \mapsto \Phi_{\mu}(x)$ из. $R \times H$ в $H$ класса $C^{k}, k \geqslant 1$ и для всех $\mu \in \mathbb{R}, \Phi_{\mu}(0)=0$. Определим $L_{\mu}=D \Phi_{\mu}(0)$ и предположим, что спектр $L_{\mu}$ лежит внутри единичной окружности при $\mu<0$. Допустим, что существует действительное, простое, изолированное собственное значение $\lambda(\mu)$, для которого $\lambda(0)=1, d \lambda(\mu) /\left.d \mu\right|_{\downarrow=0}>$ $>0$ и $L_{0}^{*}$ имеет собственным значением 1 (рис. 1.17).

Тогда для отображения $\Phi:$ $(x, \mu) \longmapsto\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$ около точки $(0,0) \in H X R$ существует $C^{k-1}$ кривая неподвижных точек $l$. Эта кривая касается $\mathrm{H}_{\text {в }}$ точке $(0,0)$ пространства $H \times R$ (рис. 1.18). Точки этой кривой, точки вида $(0, \mu)$ и только они являются неподвижными точками Ф в окрестности $(0,0)$.
(б) Покажите, что условия теоремы применимы к примеру с шариком в обруче (см. упр. 1.2).

Указание. Для отображения ( $\left.L_{0}, 0\right)$ в $H \times R$ возьмем собственный вектор $(z, 0)$ с собственным значением 1. Используя теорему о центральном многообразии, получим для ото-
1) См. также важную работу Афраймовича, Быкова и Шильникова [1].- Прим, перев.

бражения $\Phi(x, \mu)=\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$ инвариантное 2 -многообразие $C$, касательное к $(z, 0)$ и $\mu$-оси. На $C$ выберем координаты $(\alpha, \mu)$, где $\alpha$ — проекция на нормированный собственный вектор $z(\mu)$ отображения $L_{\mu}$. В этих координатах $\Phi(x, \mu)=$ $=(f(\alpha, \mu), \mu)$. Обозначим $g(\alpha, \mu)=\frac{f(\alpha, \mu)}{\alpha}-1$ и используем теорему о неявной функции, чтобы получить кривую нулей $g$ в $C$ (см. Рюэль и Такенс [1], стр. 190).
(1.17). Замечание. Замкнутые орбиты, которые дает теорема Хопфа, не обязательно бывают глобально устойчивы

Рис. 1.19. $a$ — особые точки сливаются; 6 — особые точки сходят с оси симметрии, и образуется замкнутая орбита.

и могут исчезать при больших значениях параметра (см. замечание 3A.3).
(1.18) Замечание. Сведение к конечномерному случаю с использованием теоремы о центральном многообразии аналогично сведению к конечной размерности в теории бифуркаций стационарных решений уравнений эллиптического типа, которое известно под названием «теории Лंяпунова — Шмидта». См. Ниренберг [1] и Вайнберг и Треногин [1, 2].
(1.19) Замечание. Рождение замкнутых орбит может происходить с помощью механизмов, отличных от вышерассмотренных. На рис. 1.19 показан пример С. Вана ${ }^{1}$ ).
1) О рождении замкнутых орбит см. Андронов и др. [1], Шильников [1-4], а также Дополнение I. — Прим. ред.