Мы дадим здесь, следуя Ланфорду [1], непосредственный элементарный вывод канонической формы отображения $\Phi_{\mu}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Напомним, что мы уже привели отображение к виду
\[
\Phi_{\mu}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=(1+\mu)\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta(\mu) & -\sin \theta(\mu) \\
\sin \theta(\mu) & \cos \theta(\mu)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)+O\left(r^{2}\right) .
\]

С помощью последующих замен координат мы хотим упростить члены второго, третьего и четвертого порядков. Удобно отождествить $\mathbb{R}^{2}$ с комплексной плоскостью, полагая $z=$ $=x+i y$. Тогда
\[
\Phi_{\mu}(z)=\lambda(\mu) z+O\left(|z|^{2}\right), \quad \lambda(\mu)=(1+\mu) e^{i \theta(\mu)} .
\]

Начиная с этого места, мы будем, где это возможно, опускать в наших обозначениях $\mu$.

Члены высшего порядка в разложении Тейлора функции Ф могут быть записаны как полиномы по $z$ и $\bar{z}$, т. е.
\[
\Phi(z)=\lambda z+A_{2}(z)+A_{3}(z)+\ldots,
\]

где, например,
\[
A_{2}(z)=\sum_{j=0}^{2} a_{j 2} z^{2-j} \bar{z}^{j}
\]

Начнем, как обычно, с $A_{2}$. Выберем новые координаты $z^{\prime}=$ $=z+\gamma(z)$, где $\gamma$-однородный многочлен степени 2 , т. е. имеет ту же форму, что и $A_{2}$. Обратное выражение $z$ через $z^{\prime}$ запишем следующим образом:
\[
z=z^{\prime}-\gamma\left(z^{\prime}\right)+\text { члены высшего порядка. }
\]

Сейчас мы интересуемся членами только 2-го порядка и ниже, а члены 3-го порядка и выше будем опускать; для обозначения этого мы вместо знака равенства будем использовать знак ( ). Таким образом, мы имеем
\[
z \equiv z^{\prime}-\gamma\left(z^{\prime}\right)=(I-\gamma)\left(z^{\prime}\right) .
\]

В новых координатах получим
\[
\begin{aligned}
\Phi^{\prime}\left(z^{\prime}\right) & \equiv(I+\gamma) \Phi\left(z^{\prime}-\gamma\left(z^{\prime}\right)\right) \equiv \\
& \equiv(I+\gamma)\left[\lambda z^{\prime}-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)+A_{2}\left(z^{\prime}-\gamma\left(z^{\prime}\right)\right)\right] \equiv \\
& \equiv(I+\gamma)\left[\lambda z^{\prime}-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)+A_{2}\left(z^{\prime}\right)\right] \equiv \\
& \equiv \lambda z^{\prime}-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)+A_{2}\left(z^{\prime}\right)+\gamma\left(\lambda z^{\prime}-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)+A_{2}\left(z^{\prime}\right)\right) \equiv \\
& \equiv \lambda z^{\prime}+A_{2}\left(z^{\prime}\right)+\gamma\left(\lambda z^{\prime}\right)-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Далее,
\[
\begin{array}{c}
\quad \gamma\left(z^{\prime}\right)=\gamma_{2} z^{\prime} z^{\prime}+\gamma_{1} z^{\prime} \bar{z}^{\prime}+\gamma_{0} \bar{z}^{\prime} \bar{z}^{\prime} \\
\gamma\left(\lambda z^{\prime}\right)-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)=\gamma_{2}\left(\lambda^{2}-\lambda\right) z^{\prime} z^{\prime}+\gamma_{1}\left(|\lambda|^{2}-\lambda\right) z^{\prime} \bar{z}^{\prime}+ \\
+\gamma_{0}\left(\bar{\lambda}^{2}-\lambda\right) \tilde{z}^{\prime} \bar{z}^{\prime} .
\end{array}
\]

С другой стороны,
\[
A_{2}\left(z^{\prime}\right)=a_{22} z^{\prime} z^{\prime}+a_{12} z^{\prime} \bar{z}^{\prime}+a_{02} \bar{z}^{\prime} \bar{z}^{\prime} ;
\]

поэтому, если мы выберем
\[
\gamma_{2}=\frac{-a_{22}}{\lambda^{2}-\lambda}, \quad \gamma_{1}=\frac{-a_{12}}{|\lambda|^{2}-\lambda}, \quad \gamma_{0}=\frac{-a_{02}}{\bar{\lambda}^{2}-\lambda},
\]

то получим
\[
\Phi^{\prime}\left(z^{\prime}\right)=\lambda z^{\prime}+O\left(\mid z^{\prime} \beta^{3}\right) .
\]

Конечно, мы должны быть уверены, что в наших выражениях для $\gamma_{i}$ знаменатели отличны от нуля. Так как $|\lambda|=$ $=1+\mu$, то при $\mu
eq 0$ это выполнено, но мы хотим, чтобы наша замена координат, зависящая от $\mu$, работала и при $\mu=0$. Это будет так при условии, что
\[
e^{2 i \theta(0)}
eq e^{i \theta(0)}, \quad 1
eq e^{i \theta(0)}, \quad e^{-2 i \theta(0)}
eq e^{i \theta(0)},
\]
т. е. когда
\[
e^{i \theta(0)}
eq 1, \quad e^{3 i \theta(0)}
eq 1 .
\]

Поэтому, если эти условия выполняются, мы можем сделать замену координат, зависящую от $\mu$ и переводящую $A_{2}$ в нуль. Будем предполагать, что это уже сделано, опустим штрихи в обозначениях
\[
\Phi(z)=\lambda z+A_{3}(z)+\ldots .
\]
(здесь $A_{3}$ уже не исходное $A_{3}$ ) и посмотрим, что можно сделать с $A_{3}$.

Выберем новые координаты $z^{\prime}=z+\gamma(z)$, где $\gamma$-однородный многочлен третьей степени, и будем проводить вычисления по модулю членов порядка 4 и больше. Қак и выше, получим
\[
\Phi^{\prime}\left(z^{\prime}\right) \equiv(I+\gamma) \Phi\left(z^{\prime}-\gamma\left(z^{\prime}\right)\right) \equiv \lambda z^{\prime}+A_{3}\left(z^{\prime}\right)+\gamma\left(\lambda z^{\prime}\right)-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right) .
\]

Мы снова выпишем
\[
\begin{array}{c}
\gamma\left(z^{\prime}\right)=\gamma_{3}\left(z^{\prime}\right)^{3}+\gamma_{2}\left(z^{\prime}\right)^{2} \bar{z}^{\prime}+\gamma_{1} z^{\prime}\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{2}+\gamma_{0}\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{3}, \\
\gamma\left(\lambda z^{\prime}\right)-\lambda \gamma\left(z^{\prime}\right)=\gamma_{3}\left(\lambda^{3}-\lambda\right)\left(z^{\prime}\right)^{3}+\gamma_{2}\left(|\lambda|^{2}-1\right) \lambda\left(z^{\prime}\right)^{2} \bar{z}^{\prime}+ \\
+\gamma_{1}\left(|\lambda|^{2} \bar{\lambda}-\lambda\right) z^{\prime}\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{2}+\gamma_{0}\left(\bar{\lambda}^{3}-\lambda\right)\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{3} \\
A_{3}\left(z^{\prime}\right)=a_{33}\left(z^{\prime}\right)^{3}+a_{23}\left(z^{\prime}\right)^{2} \bar{z}^{\prime}+a_{13} z^{\prime}\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{2}+a_{03}\left(\bar{z}^{\prime}\right)^{3} .
\end{array}
\]

Выбирая подходящим образом $\gamma_{3}, \gamma_{1}, \gamma_{0}$, мы можем исключить члены $a_{33}, a_{13}, a_{03}$ при условии, что
\[
e^{2 i \theta(0)}
eq 1, \quad e^{4 i \theta(0)}
eq 1 .
\]

Совсем иного рода член $a_{23}$. При $\mu
eq 0$ мы, конечно, можем исключить его, полагая
\[
\gamma_{3}=\frac{-a_{23}}{\lambda\left(|\lambda|^{2}-1\right)} .
\]

Однако при $\mu \rightarrow 0$ это выражение неограниченно растет независимо от значения $\theta(0)$. По этой причине мы будем пытаться убрать этот член и просто положим $\gamma_{3}=0$. Тогда в новых координатах (опуская штрихи) получаем
\[
\Phi(z)=\left(\lambda+a_{23}|z|^{2}\right) z+O\left(|z|^{4}\right) .
\]

Далее мы намереваемся уничтожить члены порядка 4 заменой координат $z^{\prime}=z+\gamma(z)$, где $\gamma$-однородный многочлен 4-й степени. Уже знакомое нам вычисление показывает, что такая замена не меняет членов порядка $\leqslant 3$, а члены 4-го порядка могут быть исключены, если
\[
e^{5 i \theta(0)}
eq 1 \text {. }
\]

Таким образом, мы получаем
\[
\Phi(z)=\left(\lambda+a_{23}|z|^{2}\right) z+O\left(|z|^{5}\right) .
\]

Однако это еще не совсем та форма, которую мы хотели получить. Чтобы закончить вывод, запишем
\[
\begin{array}{l}
\lambda+a_{23}|z|^{2}=(1+\mu) e^{i \theta(\mu)}\left[1-\frac{f_{1}(\mu)}{1+\mu}|z|^{2}+i f_{3}(\mu)|z|^{2}\right]= \\
=\left(1+\mu-f_{1}(\mu)|z|^{2}\right) e^{i\left[\theta(\mu)+f_{3}(\mu)|z|^{2}\right]}+O\left(\left|z^{4},\right|\right)
\end{array}
\]

где $f_{1}$ и $f_{3}$ действительны. Поэтому
\[
\Phi(z)=\left(1+\mu-f_{1}(\mu)|z|^{2}\right) e^{i\left[\theta(\mu)+f_{3}(\mu)|z|^{2}\right]} z+O\left(|z|^{5}\right) .
\]

Когда мы перейдем к полярным координатам, то получим как раз искомую каноническую форму.