Наше доказательство теоремы Хопфа нетрудно приспособить к случаю, когда действительная часть собственного значения не удовлетворяет условию $\alpha^{\prime}(0)
eq 0$, а вместо этого $\alpha^{\prime \prime}(0)
eq 0$. Член с $\mu_{1}$ в бифуркационном уравнении равен нулю, и мы должны вычислить некоторые члены более высокого порядка.

Воспользуемся той же самой нормальной формой, которая ранее использовалась в уравнении (3C.2), и для простоты предположим, что $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$-аналитические функции своих переменных. Будем считать, что предварительно нелинейным преобразованием исключены смешанные квадратичные члены, содержащие $y_{1}$ или $y_{2}$ и компоненты $\tilde{y}$. Этого можно добиться методом, аналогичным тому, который используется при биркгофовской нормализации гамильтоновых систем, т. е. с помощью преобразования вида (см. гл. 6A)
\[
\begin{aligned}
y_{1} & \rightarrow y_{1}+y_{1} \alpha^{T} \tilde{y}+y_{2} \beta^{T} \tilde{y}, \\
y_{2} & \rightarrow y_{2}+y_{1} \bar{\beta}^{T} \tilde{y}+y_{2} \bar{\alpha}^{T} \tilde{y}, \\
\tilde{y} & \rightarrow \tilde{y} .
\end{aligned}
\]

Если потребовать, чтобы в новых переменных уравнения не содержали членов, упомянутых выше, то это позволяет однозначно найти ( $n-2$ )-мерные комплексные векторы $\alpha$ и $\beta$, так как матрица в системе (3C.2) не имеет при малых $\mu$ собственными значениями ни 0 , ни $2 i$.

Нам необходимо знать квадратичные и кубичные по $y_{1}, y_{2}$ члены функции $\varphi_{1}$, т. е.
\[
\varphi_{1}=a y_{1}^{2}+b y_{1} y_{2}+c y_{2}^{2}+\ldots+\alpha y_{1}^{3}+\beta y_{1}^{2} y_{2}+\lambda y_{1} y_{2}^{2}+\delta y_{2}^{3}+\ldots
\]

Многоточие означает либо члены, содержащие только $\hat{y}$, либо члены более высокого порядка. Коэффициенты, конечно, зависят от параметра $\mu$, и мы можем записать $a=a(\mu)=$ $=a_{0}+a_{1} \mu+O\left(\mu^{2}\right)$ и аналогично для других коэффициентов.

В переменных $\theta, r, \eta$ самое важное уравнение — это уравнение для $r$, и оно записывается в виде
\[
\frac{d r}{d \theta}=\frac{u(\mu) r+\operatorname{Re}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\}}{1+r^{-1} \operatorname{Im}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\}} .
\]

Введем масштабный множитель
\[
r=\varepsilon^{2} \rho, \quad \mu=e \mu_{1}
\]

и получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \rho}{d \theta}=\varepsilon^{2}\left(R_{0}+\varepsilon^{2} R_{1}+\varepsilon \mu_{1} R_{2}+\mu_{1}^{2} R_{3}+\ldots\right), \\
\frac{d \eta}{d \theta}=B(0) \eta+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R_{0}=\rho^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{-i \theta}+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}, \\
R_{1}=\rho^{3}\left(\operatorname{Re}\left\{\alpha_{0} e^{2 i \theta}+\beta_{0}+\gamma_{0} e^{-2 i \theta}+\delta_{0} e^{-4 i \theta}+\ldots\right\}-\right. \\
-\operatorname{Re}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{-i \theta}+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\} \cdot \operatorname{Im}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{i \theta}+\right. \\
\left.\left.+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}\right) \text {, } \\
R_{2}=\rho^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{1} e^{i \theta}+b_{1} e^{-i \theta}+c_{1} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}, \\
R_{3}=\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(0) \rho \text {. } \\
\end{array}
\]

Многоточием в функциях $R_{0}, R_{1}, R_{2}$ обозначены члены, содержащие $\eta$. Так как $\eta=0\left(\varepsilon^{2}\right)$, то эти члены несущественны при отыскании уравнения разветвления $2 \pi$-периодических решений, которое имеет ту же форму, что и ранее, и записывается в виде
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left(R_{0}+\varepsilon^{2} R_{1}+\varepsilon \mu_{1} R_{2}+\mu_{1}^{2} R_{3}+\ldots\right) d \theta=0 .
\]

При вычислении этого интеграла сразу видно, что отсутствует постоянный член. Тем не менее следует обратить внимание на интегрирование $R_{0}$, так как оно дает вклад в член с $\boldsymbol{\varepsilon}^{2}$ вследствие вида решения для $\rho$ :
\[
\begin{array}{r}
\rho=\rho_{0}+\varepsilon^{2} \rho_{0}^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{0} i\left(1-e^{i \theta}\right)+b_{0} i\left(e^{-i \theta}-1\right)+\frac{c_{0} i}{3}\left(e^{-3 i \theta}-1\right)\right\}+ \\
+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Благодаря предварительно проведенному преобразованию переменные $\eta$ в $R_{0}$ входят квадратично, и поэтому они вносят вклад только в члены высшего порядка по $\varepsilon$ и $\mu_{1}$. Интегрирование приводит нас к следующему уравнению разветвления:
\[
2 \pi\left(\varepsilon^{2} \rho_{0}^{3} \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}+\frac{1}{2} \mu_{1}^{2} u^{\prime \prime}(0) \rho_{0}+\ldots\right)=0
\]

Теорема о неявной функции позволяет нам получить следующий результат: если $u^{\prime \prime}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}<0$, то существуют два различных решения приведенного выше уравнения разветвления, имеющих вид $\mu_{1}=0(\varepsilon)$. Эти решения соответствуют двум семействам периодических орбит, рождающихся из состояния равновесия. В случае $u^{\prime \prime}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}>0$ таких решений нет. Наконец, если дискриминант равен нулю, то необходимо учитывать члены более высокого порядка, чтобы выяснить, какой случай здесь имеет место. В случае $u(0)=$ $=u^{\prime}(0)=\ldots=u^{(n-1)}(0)=0, u^{(n)}(0)
eq 0$ мы вводим масштабный множитель с помощью соотношений $r=\varepsilon^{n} \rho, \mu=$ $=\varepsilon \mu_{1}$ и после аналогичных вычислений приходим к уравнению разветвления
\[
\frac{\rho_{0}}{n !} u^{(n)}(0) \mu_{1}^{n}+\rho_{0}^{3} \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\} \varepsilon^{n}+\ldots=0 .
\]

Обозначим $D=u^{(n)}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}$. Если $n$ нечетно и $D
eq 0$, то всегда существует при малых $\varepsilon$ решение вышеприведенного уравнения разветвления, имеющее вид $\mu_{1}=$ $=\mu_{1}(\varepsilon)=O(\varepsilon)$. Если $n$ четно, то существуют два таких решения при $D<0$ и нет ни одного решения при $D>0$.
(3C.4) Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (3С.2), и пусть она записана в нормальной форме , как описано выше. Предположим, что $u(0)=u^{\prime}(0)=\ldots$ $\ldots=u^{(n-1)}(0)=0, \quad u^{(n)}(0)
eq 0, \quad n=1, \quad 2, \quad \ldots \quad u \quad D=$ $=u^{(n)}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}$. Тогда если $n$ нечетно и $D
eq 0$, то существует, по крайней мере локально, однопараметрическое семейство периодических орбит, которое стягивается в начало, а период этих орбит стремится к $2 \pi$, когда параметр стремится к нулю. Если п четно, то существует два таких семейства в случае $D<0$ и ни одного — в случае $D>0$.

Этот результат очень близок к результату Чейфи [1], который обсуждался в гл. 3А. (См. также Такенс [1].) [4]