Пусть $E$-действительное банахово пространство с $C^{l}$ нормой $l \geqslant 3$. (Это означает, что отображение $x \mapsto\|x\|$ класса $C^{l}$ в $E \backslash\{0\}$.) Пусть $G$ – группа Ли и $\Lambda_{o}$-(гладкое) представление $G$ как группы линейных изометрий $E$. Обозначим через $\Lambda_{g}$ элементы $\Lambda_{G}$, где $g \in G$. Рассмотрим диффеоморфизмы $f: E \rightarrow E$, коммутирующие с $\Lambda_{G}$, т. е. удовлетворяющие условию $f \circ \Lambda_{g}=\Lambda_{g} \circ f$ для всех $g \in G$.

Если мы знаем точку $f(x)$ и $f$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, то для всех $y$, принадлежащих орбите точки $x$ относительно действия $\Lambda_{G}$, опрєделены точки $f(y)$. Например, если $E=\mathbb{R}^{2}$ с евклидовой нормой и $\Lambda_{a}$-группа вращений плоскости (представлением $G$ является группа $\mathrm{SO}(2)$ ) и если $f$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, то $f$ переводит окружности в окружности.
Отметим следующее:
(0.1) Если $f$ и $h$ – диффеоморфизмы $E$, которые коммутируют с $\Lambda_{a}$, то $a f+b h$ также коммутирует с $\Lambda_{a}$ для всех $a$, $b \in \mathbb{R}$.
(0.2) Если $f$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ и $f(0)=0$, то $D f(0)$ коммутирует с $\Lambda_{G}$;
(0.3) Если $\varphi: E \rightarrow R$ удовлетворяет условию $\varphi \Lambda_{\mathrm{g}}(x)=$ $=\varphi(x)$ для всех $g \in G$ и $x \in E$, а $f$ коммутирует с $\Lambda_{0}$, то $\varphi \circ f$ коммутирует с $\Lambda_{g}{ }^{1}$ ).

Так как норма $E$ класса $C^{l}$, то мы можем построить срезающую $C^{l}$-функцию $\varphi: E \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющую условиям: $\varphi=1$ в окрестности точки $0, \varphi=0$ вне большей окрестности 0 и $\varphi$ постоянна на каждой сфере с центром в 0 . Такая функция $\varphi$ будет также удовлетворять условию (0.3). Для данного $C^{l}$-диффеоморфизма $f: E \rightarrow E$ и линейного изоморфизма $A: E \rightarrow E$, который коммутирует с $\Lambda_{\sigma}$ и достаточно близок к $D f(0)$, эти срезающие функции, вместе со свойствами (0.1) и (0.3) позволяют нам построить новый диффеоморфизм $h, C^{l}$-близкий к $f$, коммутирующий с $\Lambda_{a}$ и такой, что $\operatorname{Dh}(0)=A$.

Пусть $1 \leqslant k \leqslant l$ и $\mathscr{F}$ обозначает пространство сохраняющих слои отображений $f: E \times(-1,1) \rightarrow E \times(-1,1)$, удовлетворяющих условиям:
(а) каждое $f_{\mu}$ есть $C^{t}$-диффеоморфизм $E(\mu \in(-1,1))$;
(б) $f$ класса $C^{k}$ по второй переменной $\mu$;
(в) $f_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(г) $f_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ для всех $\mu$;
(д) $D f_{0}(0)$ имеет конечное число изолированных конечнократных собственных значений на окружности $|z|=1$ (так как эти собственные значения изолированы, то остальная часть спектра отделена от окружности $|z|=1$ ).

Мы хотим изучить для типичного $f \in \mathscr{F}$ изменения качественной структуры $f_{\mu}$ около начала координат, когда $\mu$ проходит через 0 . Фактически будет изучено открытое плотное подмножество $\mathscr{F}$, которое будет определено в разд. $2^{2}$ ).