Пусть $E$-действительное банахово пространство с $C^l$ нормой $l⩾3$. (Это означает, что отображение $x\mapsto \Vert x\Vert$ класса $C^l$ в $E\mathrm{\setminus }\{0\}$.) Пусть $G$ — группа Ли и ${\mathrm{\Lambda }}_o$-(гладкое) представление $G$ как группы линейных изометрий $E$. Обозначим через ${\mathrm{\Lambda }}_g$ элементы ${\mathrm{\Lambda }}_G$, где $g\in G$. Рассмотрим диффеоморфизмы $f:E\to E$, коммутирующие с ${\mathrm{\Lambda }}_G$, т. е. удовлетворяющие условию $f\circ {\mathrm{\Lambda }}_g={\mathrm{\Lambda }}_g\circ f$ для всех $g\in G$.

Если мы знаем точку $f(x)$ и $f$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G$, то для всех $y$, принадлежащих орбите точки $x$ относительно действия ${\mathrm{\Lambda }}_G$, опрєделены точки $f(y)$. Например, если $E={\mathbb{R}}^2$ с евклидовой нормой и ${\mathrm{\Lambda }}_a$-группа вращений плоскости (представлением $G$ является группа $\mathrm{SO}(2)$ ) и если $f$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G$, то $f$ переводит окружности в окружности.
Отметим следующее:
(0.1) Если $f$ и $h$ — диффеоморфизмы $E$, которые коммутируют с ${\mathrm{\Lambda }}_a$, то $af+bh$ также коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_a$ для всех $a$, $b\in \mathbb{R}$.
(0.2) Если $f$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G$ и $f(0)=0$, то $Df(0)$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G$;
(0.3) Если $\phi :E\to R$ удовлетворяет условию $\phi {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{g}}(x)=$ $=\phi (x)$ для всех $g\in G$ и $x\in E$, а $f$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_0$, то $\phi \circ f$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_g{}^1$ ).

Так как норма $E$ класса $C^l$, то мы можем построить срезающую $C^l$-функцию $\phi :E\to \mathbb{R}$, удовлетворяющую условиям: $\phi =1$ в окрестности точки $0,\phi =0$ вне большей окрестности 0 и $\phi$ постоянна на каждой сфере с центром в 0 . Такая функция $\phi$ будет также удовлетворять условию (0.3). Для данного $C^l$-диффеоморфизма $f:E\to E$ и линейного изоморфизма $A:E\to E$, который коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$ и достаточно близок к $Df(0)$, эти срезающие функции, вместе со свойствами (0.1) и (0.3) позволяют нам построить новый диффеоморфизм $h,C^l$-близкий к $f$, коммутирующий с ${\mathrm{\Lambda }}_a$ и такой, что $\mathrm{Dh}(0)=A$.

Пусть $1⩽k⩽l$ и $\mathcal{F}$ обозначает пространство сохраняющих слои отображений $f:E\times (-1,1)\to E\times (-1,1)$, удовлетворяющих условиям:
(а) каждое $f_{\mu }$ есть $C^t$-диффеоморфизм $E(\mu \in (-1,1))$;
(б) $f$ класса $C^k$ по второй переменной $\mu$;
(в) $f_{\mu }(0)=0$ для всех $\mu$;
(г) $f_{\mu }$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G$ для всех $\mu$;
(д) $D{f}_0(0)$ имеет конечное число изолированных конечнократных собственных значений на окружности $|z|=1$ (так как эти собственные значения изолированы, то остальная часть спектра отделена от окружности $|z|=1$ ).

Мы хотим изучить для типичного $f\in \mathcal{F}$ изменения качественной структуры $f_{\mu }$ около начала координат, когда $\mu$ проходит через 0 . Фактически будет изучено открытое плотное подмножество $\mathcal{F}$, которое будет определено в разд. $2^2$ ).