(8А.3) Теорема (Чернов и Марсден [2]). Пусть $N$ – банахово многообразие, $F_{t}$ – поток (или локальный поток) на $N$, и пусть $F$ по отдельности непрерывно по х и $t$ (т. е. $t \longmapsto F_{t}(x)$ при фиксированном $t$ ). Тогда $F_{t}$ является $C^{0}$-потоком, т. е. $F_{t}$ совместно непрерывно.

Для доказательства воспользуемся следующей леммой.

(8А.4) Лемма. (Бурбаки [1], гл. IX, § 5, упр. 23б, стр. 125, Шоке [1], т. 1, стр. 127.) Пусть E-пространство Бэра, а F, $G$ – метрические пространства. Допустим, что отображение $\varphi: E \times F \rightarrow G$ раздельно непрерывно. Тогда для любого $f \in F$ существует плотное множество $S_{f} \subseteq E$, такое, что дополнение к нему является множеством первой категории и такое, что если $е \in S_{f}$, то ч непрерывно в точке $(e, f)$.

Доказательство теоремы (8А.3). Так как это локальная теорема, мы можем работать в одной карте. Поэтому мы предположим, что $N$ – банахово пространство и $F_{t}$ – локальный поток на $N$. Положим $E=\mathbb{R}, F=G=N$. Пусть $x \in U \subset N, t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$. Существует плотное множество $t_{x} \in$ $E(-\varepsilon, \varepsilon)$, такое, что $F$ непрерывно в точке $\left(t_{x}, x\right)$. Так как область определения $F$ предполагается открытой в $\mathbb{R} \times N$, мы можем выбрать $t_{x}$ столь близким к $t$, чтобы были определены все нужные композиции. Пусть $t_{n} \rightarrow t, x_{n} \rightarrow x$; запишем $F_{t_{n}}\left(x_{n}\right)=F_{t_{-t_{x}}} \circ F_{t_{x}+t_{n}-t}\left(x_{n}\right)$. Так как $t_{x}+t_{n}-t \rightarrow t_{x}$, а $F$ непрерывно в точках $\left(t_{x}, x\right)$, то $F_{t_{x}+t_{n}-t}\left(x_{n}\right)=y_{n} \rightarrow F_{t_{x}}(x)$. При фиксированном $t$ отображение $x \mapsto F_{t}(x)$ непрерывно, поэтому получаем, что $F_{t_{n}}\left(x_{n}\right)=F_{t-t_{x}}\left(y_{n}\right) \rightarrow F_{t-t_{x}}\left(F_{t_{x}}(x)\right)=$ $=F_{t}(x)$.

(8A.5) Замечания. 1) Пусть $G$ – топологическая группа, которая также является пространством Бэра. Пусть $Ф: G \times$ $\times N \rightarrow N$ – раздельно непрерывное действие группы $G$ на метрическом пространстве $N$. Тогда вышеприведенные рассуждения показывают, что Ф совместно непрерывно.
2) Допустим, что $D \subseteq N$ и плотно в $N$, а $F_{t}$ – поток на $D$, который продолжается по непрерывности до потока на $N$, так что отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ непрерывно при каждом $x \in$ $\in D$. Тогда то же самое верно для каждого $x \in N$, и продолженный поток – класса $C^{0}$. Действительно, пусть $x_{n} \rightarrow x$, где $x_{n} \in D$, а $x \in N$. Тогда при фиксированном $t F_{t}\left(x_{n}\right) \rightarrow F_{t}(x)$, поэтому отображение $t \longmapsto F_{t}(x)$ является поточечным пределом непрерывных функций. Следовательно, для каждого $x \in$

$\in N$ существует множество второй категории $S_{x} \subseteq \mathbb{R}$, такое, что если $t \in S_{x}$, то отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ непрерывно. Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8A.3, показывают, что $S_{x}=\mathbb{R}$ при всех $x \in N$.
3) Многие из этих результатов можно обобщить на случай, когда $N$ не является локально метризуемым; например, многообразие, моделированное топологическим векторным пространством (пример: многообразие, моделированное банаховым пространством со слабой топологией – «слабое многообразие»). См. Болл [1].
4) Те же рассуждения работают и для полупотоков, по крайней мере для $t>0$. Если $N$ локально компактно, то совместная непрерывность также имеется при $t=0$ (Дорро [1]; можно, однако, дать и непосредственное доказательство). В общем случае, однако, совместная непрерывность может нарушаться при $t=0$, поэтому ее необходимо постулировать.

Используя эти методы, мы можем получить интересный результат по $t$-непрерывности производной дифференцируемого потока.
(8А.6) Теорема. Пусть $N$ – банахово многообразие и $F_{t}-$ поток (или локальный поток или полупоток) на $N$ класса $C^{0}$. Пусть $F_{t}$ также класса $T^{k}$ для $k \geqslant 1$. Тогда для каждого $j \leqslant$ $\leqslant k T^{\prime} F_{t}: T^{i}(N) \rightarrow T^{\prime}(N)$ совместно непрерывно при $t \in \mathbb{R} u$ $x \in T^{\prime}(N)$ (для полупотоков – только при $t>0$ ).

Доказательство. Используя индукцию и теорему 8А.3, мы немедленно сводим задачу к случаю $k=1$. Также можно считать, что мы работаем в одной карте. Поэтому $T F_{t}(x, v)=$ $=\left(F_{t}(x), D_{x} F_{t}(x) \cdot v\right)$. По предположению это отображение непрерывно по $x$, поэтому нам необходимо только показать его непрерывность по $t$. Ясно, однако, что
\[
D_{x} F_{t}(x) \cdot v=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(F_{t}\left(x+\frac{v}{n}\right)-F_{t}(x)\right) .
\]

Таким образом, отображение $t \longmapsto D_{x} F_{t}(x) \cdot v$ является поточечным пределом непрерывных отображений и поэтому имеет плотное множество точек $t$-непрерывности. Остальная часть доказательства делается так же, как в замечании 2 п. 8A.5.