Пусть $X$ – векторное поле, $\varphi_{t}$ – поток поля $X$ и $\gamma$-замкнутая орбита потока $\varphi_{t}$. Пусть $P$-отображение Пуанкаре орбиты $\gamma$ (см. гл. 2B). Предположим, что существует замкнутая кривая $\sigma$, инвариантная относительно $P$. Ясно, что $\varphi_{t}(\sigma)$ есть инвариантный тор потока (см. рис. 6.1).
Если у нас имеется однопараметрическое семейство векторных полей $X_{\mu}$ и их замкнутых орбит $\gamma_{\mu}$, то легко представить себе ситуацию, когда $\gamma_{\mu}$ устойчива при малых $\mu$, а при больших $\mu$ она становится неустойчивой и вместо нее появляется устойчивый инвариантный тор ${ }^{1}$ ).
Рис. 6.1.
Напомним, что $\gamma_{\mu}$ устойчива (неустойчива), если собственные значения производной отображения Пуанкаре $P_{\mu}$ по абсолютной величине $<1$ ( $>1$ ) (см. гл. 2B). Бифуркационная теорема для диффеоморфизмов дает условия, при которых мы можем ожидать бифуркацию рождения устойчивого инвариантного тора после потери устойчивости $\gamma_{\mu}$. Приводимая здесь теорема принадлежит Рюэлю и Такенсу [1], в доказательстве мы следуем Ланфорду [1].

Для того чтобы использовать вышеуказанные соображения, необходимо знать, как вычислить спектр отображения
1) Здесь имеется в виду, что траектории теперь будут притягиваться к инвариантному тору, так как периодическая орбита останется, но будет неустойчнвой. – Прим. перев.

Пуанкаре $P$. К счастью, это можно сделать, как мы уже отмечали ранее, так как спектр отображения $d \varphi_{\tau}$ равен $\{$ Spec $d P\} \cup\{1\}$ (см. гл. 2B).