Для простоты нижеследующий результат мы приведем для случая плоских многообразий. Он, однако, верен для общих многообразий $M$, что можно увидеть, работая в локальной карте.

(8А.7) Теорема (Чернов и Марсден). Пусть $F_{t}$ – совместно непрерывный поток на банаховом пространстве $\mathbb{E}$. Допустим, что для каждого $t F_{t}$ является $C^{k}$-отображением, $k \geqslant 1$. Предположим также, что для каждого $x \in \mathbb{E}\left\|D F_{t}(x)-I\right\| \rightarrow$ $\rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$, где $\|\cdot\|$ – норма оператора. Тогда $F_{t}(x)$ класса $C^{k}$ совместно по $t$ и $x$. Более того, поле $X$, порождающее поток, является всюду определенным векторным полем на $\mathbb{E}$ класса $C^{k-1}$.

Доказательство. При сформулированных предположениях мы можем показать, что $D F_{t}(x)$ совместно непрерывно как отображение из $R \times \mathbb{E}$ в $\mathscr{L}(\mathbb{E}, \mathbb{E})$; последнее означает множество всех линейных ограниченных отображений $\mathbb{E}$ в $\mathbb{E}$ с топологией, порожденной нормой. Если мы обозначим $D F_{t}(x)$ через $\varphi(t, x)$, то по правилу дифференцирования сложной функции получим соотношение
\[
\varphi(s+t, x)=\varphi\left(s, F_{t}(x)\right) \cdot \varphi(t, x) .
\]

По предположению $\varphi$ непрерывна по каждому аргументу; тогда мы можем применить, как в теореме (8A.3), свойство Бэра, что вместе с тождеством (8A.1) приводит к совместной непрерывности.

Пусть теперь $\varphi(t)-C^{\infty}$-функция на $\mathbb{R}$ с компактным носителем. Определим $J_{\varphi}: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$ формулой
\[
J_{\varphi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(t) F_{t}(x) d t .
\]

В силу совместной непрерывности мы можем продифференцировать под знаком интеграла в (8A.2) и, таким образом, получить
\[
D J_{\varphi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(t) D F_{t}(x) d t .
\]

Теперь, если $\varphi$ близко к $\delta$-функции, то величина $\| D J_{\varphi}(x)$ $-I \|$ мала; в частности, $D J_{q}(x)$ обратимо. Из теоремы об обратной функции следует, что $J_{\varphi}$ – локальный $C^{k}$-диффеоморфизм. Кроме того,
\[
J_{\varphi}\left(F_{t}(x)\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(s) F_{s+t}(x) d s=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(s-t) F_{s}(x) d s .
\]

Последнее выражение дифференцируемо по $t$ и $x$. Так как $J_{\varphi}$ – локальный $C^{k}$-диффеоморфизм, то $F_{t}(x)$ класса $C^{k}$ совместно по обеим переменным для $t$, близких к 0 . Но тогда групповое свойство потока показывает, что это верно для Bcex $t$.
(8A.8) Замечания. 1) Полученный выше результат является нелинейным обобщением хорошо известного в линейной теории факта, состоящего в том, что непрерывная по норме линейная полугруппа имеет ограниченный производящий оператор (и, следовательно, определена для всех $t \in \mathbb{R}$, а не только для $t \geqslant 0$ ).

Те же самые рассуждения, что и выше, применимы к полупотокам и локальным потокам. Отсюда вытекает забавное следствие, что полупоток класса $C^{k}$, производная которого непрерывна по норме относительно $t$ при $t=0$, имеет интегральные кривые, которые можно локально равномерно продолжить назад по времени (так как соответствующее векторное поле класса $C^{k-1}$ ). Это очень важно в сочетании со следующим замечанием.
2) Если $\mathbb{E}$ конечномерно, то сходимость по норме $D F_{t}(x)$ к $I$ следует автоматически из предположений гладкости. Действительно, из теоремы (8А.6) следует, что $D F_{t}(x) \rightarrow I$ в сильной операторной топологии, т. е. $D F_{t}(x) v \rightarrow v$ для любого $v$, но для конечномерного пространства это то же самое, что сходимость по норме.

В соответствии с этим, если $M$ – конечномерное многообразие, то поток на $M$, который совместно непрерывен и класса $C^{k}$ по пространственной переменной, совместно класса $C^{k}$. Последнее является классическим результатом Монтгомери. Существует обобщение, принадлежащее Бохнеру и Монтгомери [1], для действия конечномерных групп Ли. Это обобщение можно также получить методами, использованными при доказательстве теоремы (8A.7) (см. Чернов и Марсден [2]).

Теперь объединим замечания (8A.8) в виде полезного следствия.
(8А.9) Следствие. Пусть $F_{t}$ – локальный $C^{k}$-полупоток на банаховом многообразии $N$. Предположим, что $F_{t}$ оставляет инвариантным конечномерное подмногообразие $M \subset N$. Тогда на $M$ полупоток $F_{t}$ локально обратим, класса $C^{k}$ совместно nо $t$ и $x$ и порожден $C^{k-1}$-векторным полем на $M$.

Другой заслуживающий упоминания факт – это результат Дорро [1]. Именно, в условиях теоремы (8A.7) $F_{t}$ в действительности локально сопряжено с потоком, имеющим образующую класса $C^{k}$ (а не только $C^{k-1}$ ).