Воспользуемся уравнением
\[
\begin{aligned}
X_{\mu}^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right) & =d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)+ \\
& +d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right),
\end{aligned}
\]

справедливым в окрестности точки $(0,0,0,0)$, для того, чтобы вычислить производные поля $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ через производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Так как дифференцирование производится при фиксированном $\mu$, то писать $\mu$ в формулах не будем. После дифференцирования уравнения по $x_{1}$ и $x_{2}$ получаем
\[
\begin{array}{l}
d_{1} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{1} f\left(x_{1} x_{2}\right)= \\
\quad=d_{1} d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{1} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{1} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{1} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right)
\end{array}
\]

$\mathbf{L}$
\[
\begin{array}{l}
d_{2} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right)= \\
\quad=d_{2} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{2} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{1} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{2} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Продифференцируем теперь первое уравнение по $x_{1}$ и $x_{2}$, а второе – только по $x_{2}$. Получим три выражения. Эти выражения легко записать в точке $x_{1}=x_{2}=0$, в которой $f=$ $=d f=0$ и
\[
d X=\left(\begin{array}{ccc}
0 & |\lambda(0)| & 0 \\
-|\lambda(0)| & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} X^{3}
\end{array}\right)
\]

В результате такой процедуры получим
\[
\begin{array}{c}
d_{1} d_{1} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{1} d_{1} f(0,0)= \\
=-2|\lambda(0)| d_{1} d_{2} f(0,0), \\
d_{1} d_{2} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{1} d_{2} f(0,0)= \\
=|\lambda(0)| d_{1} d_{1} f(0,0)-|\lambda(0)| d_{2} d_{2} f(0,0), \\
d_{2} d_{2} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{2} d_{2} f(0,0)=2|\lambda(0)| d_{1} d_{2} f(0,0),
\end{array}
\]
T. e.
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{ccc}
d_{3} X^{3}(0,0,0) & 2|\lambda(0)| & 0 \\
-|\lambda(0)| & d_{3} X^{3}(0,0,0) & |\lambda(0)| \\
0 & -2|\lambda(0)| & d_{3} X^{3}(0,0,0)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
d_{1} d_{1} f(0,0) \\
d_{1} d_{2} f(0,0) \\
d_{2} d_{2} f(0,0)
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{c}
-d_{1} d_{1} X^{3}(0,0,0) \\
-d_{1} d_{2} X^{3}(0,0,0) \\
-d_{2} d_{2} X^{3}(0,0,0)
\end{array}\right)
\end{array}
\]
(см. формулу 4A.6 для $d_{i} d_{i} f$, полученную обращением стоящей слева $3 \times 3$ матрицы). Так как определитель этой матрицы равен $d_{3} X^{3}(0,0,0)\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)^{2}+4|\lambda(0)|^{2}\right)$ и так как из включений $\sigma\left(d_{3} X^{3}(000)\right) \subset \sigma(d X(0,0,0)) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\} \cup$ $\cup\{\lambda(0), \overline{\lambda(0)}\}$ следует, что и $d_{3} X^{3}(0,0,0)$, и $d_{3} X^{3}(0,0,0)^{2}+$ $+4|\lambda(0)|^{2}=\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)+2|\lambda(0)| i\right)\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)-2|\lambda(0)| i\right)$ не обращаются в нуль, то матрица обратима.

Наконец, мы должны выразить первые три производных поля $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ через производные поля $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Напомним, что
\[
\begin{array}{l}
\hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)=X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \quad \text { для } i=1,2, \\
d_{j} \hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)= \\
=d_{j} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{f} f\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

для $i, j=1,2$ и
\[
d \widehat{X}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right) .
\]

Дифференцируя дальше, получим
\[
\begin{array}{l}
d_{k} d_{j} \hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)=d_{k} d_{j} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{3} d_{j} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{k} d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{f} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{3} d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{j} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} d_{j} f\left(x_{1}, x_{2}\right), \quad i, j, k=1,2 .
\end{array}
\]

Вычисляя при $t=0$, видим, что
\[
d_{k} d_{j} \widehat{X}^{i}(0,0)=d_{k} d_{j} X^{i}(0,0,0), \quad i, j, k=1,2 .
\]

Дифференцируя еще раз и вычисляя в точке 0 , получим
\[
\begin{aligned}
d_{l} d_{k} d_{j} \widehat{X}^{i}(0,0)= & d_{l} d_{k} d_{j} X^{i}(0,0,0)+d_{3} d_{j} X^{i}(0,0,0) \circ d_{l} d_{k} f(0,0)+ \\
& +d_{k} d_{3} X^{i}(0,0,0) \circ d_{l} d_{j} f(0,0)+ \\
& +d_{l} d_{3} X^{i}(0,0,0) \circ d_{k} d_{j} f(0,0), \quad i, j, k=1,2 .
\end{aligned}
\]

Теперь это можно подставить в предыдущее соотношение и получить явное выражение для $V^{\prime \prime \prime}(0)$ в точке $p$.

Ниже в главе 4A мы оформим полученные результаты в виде алгоритма, так что не нужно будет каждый раз прокручивать всю процедуру.
(4.3) Упражнение. В упражнении 1.16 дается анализ устойчивости для бифуркации рождения пары неподвижных точек. В этом доказательстве используется представление $f(\alpha, 0)=\alpha+A \alpha^{3}+\ldots$ и показывается, что при $A<0$ осуществляется суперкритическая бифуркация и имеется устойчивость, а при $A>0$ осуществляется субкритическая бифуркация и имеет место неустойчивость. Получить явную формулу для $A$ и применить ее к примеру шарика в обруче (см. Рюэль и Такенс [1], стр. 189-191).