Прежде чем сформулировать теорему о гладкости, напомним уравнения, которые мы рассматриваем. Қлассические уравнения Навье — Стокса, описывающие движение однородной несжимаемой вязкой жидкости, как уже упоминалось в гл. 1, таковы:
(HC)

Здесь $M$ — компактное риманово многообразие с гладкой границей $\partial M$, обычно — открытое множество в $\mathbb{R}^{3}$.

Уравнения Эйлера получаются в предположении $v=0$ при замене граничных условий на условие $\mathbf{v} \| \partial M^{1}$ ):
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot
abla) \mathbf{v}=-\operatorname{grad} p+\mathbf{b}_{t} \\
\operatorname{div} \mathbf{v}=0 \\
\mathbf{v} \| \partial M
\end{array}\right.
\]

Давление $p(t, x)$ в этих уравнениях определяется из условия несжимаемости.

Уравнения Эйлера являются вырожденным предельным случаем уравнений Навье — Стокса. Переход к пределу при $v \rightarrow 0$ является очень коварным, и в последнее время он интенсивно изучается. Исчезновение членов со старшей производной и соответствующее резкое изменение граничных условий — вот источник трудностей и причина, почему столь нелегки задачи теории пограничного слоя и теории турбулентности. Эту тему мы обсудим позднее.

Отметим, что уравнения Эйлера обратимы в том смысле, что если мы решим их для любых начальных условий и $t \geqslant$ $\geqslant 0$, то мы можем решить их также для $t<0$. Это следствие того, что если при $t \geqslant 0 \mathbf{v}_{t}$ — решение, то и $\mathbf{w}_{t}=-\mathbf{v}_{-t}, t<$ $<0$ — тоже решение.

Для целых $s \geqslant 0$ и $p, 1<p<\infty$, обозначим через $W^{s, p}$ пространство Соболева функций (или вектор-функций) на $M$, производные которых до порядка $s$ лежат в $L_{p}$; другим опи-
1) См. гл. 1.

санием $W^{s, p}$ является пополнение $C^{\infty}$-функций $f$ по норме
\[
\|f\|_{s, p}=\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant s}\left\|D^{\alpha} f\right\|_{L_{p}},
\]

где $D^{\alpha} f$ есть полная $\alpha$-я производная $f$. Более подробные сведения о пространствах Соболева можно найти у Фридмана [1] $\left.{ }^{1}\right)$.

Укажем, что для некомпактной области важную роль играют асимптотические условия, и многие результаты, обсуждаемые здесь, в некомпактном случае неизвестны (см. тем не менее Кантор [1] и Мак-Кракен [2]).

Следующий результат является специальным случаем общей теоремы, доказанной Морри [1]. Прямое доказательство см. у Бургиньона и Брезиса [1].
(9.1) Лемма (разложение Ходжа). Пусть $M$ то же, ито и выше, и $X$-векторное поле на $M$ класса $W^{s, p}, s \geqslant 0, p>1$. Тогда $X$ единственным образом представляется в виде
\[
X=Y+\operatorname{grad} g,
\]

где $\operatorname{div} Y=0$ и $Y \| \partial M$. Кроме того, $Y \in \mathbb{W}^{s, p}, a g \in \mathbb{W}^{s+1, p}$.
Пусть $\tilde{W}^{s, p}=$ \{векторные поля $X$ на $M \mid X \in W^{s, p} \operatorname{div} X=$ $=0$ и $X \| \partial M\}$. По теореме Ходжа, существует отображение $P: W^{s, p} \rightarrow \mathbb{W}^{s, p}$, именно: $X \mapsto Y$. Тогда задачу решения уравнения Эйлера можно сформулировать так: найти $v_{t} \in \mathscr{W}^{s+1, p}$, такое, что
\[
\frac{d v_{t}}{d t}+P\left(\left(v_{t} \cdot
abla\right) v_{t}\right)=0
\]
(плюс начальные условия). Если $s>\frac{n}{p}{ }^{2}$ ), то произведение двух $W^{s, p}$ функций является также функцией класса $W^{s, p}$, поэтому $(v \cdot
abla) v$ класса $W^{s, p}$, если $v \in W^{s+1, p}$. Таким образом, уравнения такого типа задают эволюционную систему на $\mathbb{W}^{s, p}$, как в гл. 8 A.
Вводем обозначение:
$\check{W}^{s}{ }^{p}=\left\{\right.$ векторные поля $v$ на $M \mid v$ класса $\widetilde{W}^{s, p}$,
\[
\operatorname{div} v=0 \text { и } v=0 \text { на } \partial M\} .
\]

Если $s=0$, то определение тем не менее имеет смысл, а пространство обозначается $J_{p}$ (см. Ладыженская [1]).
1) См. также Ладыженская [1, 4], Михайлов [1], — Прим. перев.
2) Здесь $n$ — это размерность M, — Прим, перев.

Тогда задачу решения уравнений Навье — Стокса можно записать так: найти $v_{t} \in \widetilde{W}_{0}^{s, 0}$, такое, что
\[
\frac{d v_{t}}{d t}-v P \Delta v_{t}+P\left(\left(v_{t} \cdot
abla\right) v_{t}\right)=0,
\]
т. е. опять получаем эволюционное уравнение на $\tilde{W}_{0}^{s, p}$. В терминологии гл. 8А банахово пространство $X$ здесь $\widetilde{W}_{0}^{0, p}=J_{p}$, а $Y=\widetilde{W}_{0}^{2, p}$. Бифуркационным параметром чаще всего служит $\mu=\frac{1}{v}$ — число Рейнольдса.

Случай $p
eq 2$ очень труден, и, хотя он и очень важен, мы не будем здесь его касаться. Если $p=2$, обычно пишут
\[
\tilde{H}^{s}=\tilde{W}^{s, 2}, \quad \tilde{H}_{0}^{s}=\widetilde{W}_{0}^{s, 2} \text { и т. д. }
\]
(9.2) Теорема. Уравнения Навье — Стокса в размерности 2 и 3 определяют гладкий локальный полупоток на $\widetilde{H}_{0}^{2} \subset$ $\subset \hat{H}^{0} \equiv J$.

Этот полупоток удовлетворяет условиям 8.1 и 8.2, предположению о гладкости в п. 8.3 гл. 8 , поэтому можно применять теоремы о рождении. (Остальные предположения в п. 8.3 и п. 8.4 зависят от конкретной задачи и должны проверяться вычислением.)

Другими словами, технические трудности, связанные с тем, что мы имеем дело с уравнениями в частных производных, а не с обыкновенными дифференциальными уравнениями, преодолеваются автоматически.
(9.3) Замечания. 1. Если границы подвижные и бифуркационный параметр $\mu$ зависит от их скорости, то имеют место те же самые результаты и с аналогичными доказательствами. Так происходит, например, в задаче Тейлора.
2. Вышеприведенная теорема неявно имеется в работах многих авторов. Например, Д. Генри сообщил нам, что он получил ее, используя технику Қато и Фуджиты. Она доказана многими авторами для размерности 2 (например, Проди). Первое явное доказательство, которое мы нашли — это работы Иосса $[3,5]$.
3. Случай $p
eq 2$ см. у Мак-Кракен [2].
4. Гладкость полупотока, имеющаяся для уравнений Навье — Стокса, по-видимому, отсутствует у уравнений Эйлера в $H^{s}$ (см. Като [6], Эбин и Марсден [1]). Таким образом, она существенно зависит от диссипативного члена. Удивительно, однако, что поток, определяемый уравнениями Эйлера, гладкий, если пользоваться лагранжевым описанием (Эбин и Марсден [1]). Мы с тем же успехом могли бы воспользоваться лагранжевым описанием для доказательства наших результатов об уравнениях Навье — Стокса, но проще использовать настоящий метод.

Перед доказательством гладкости нам необходимо иметь локальную теорему существования. Так как ее легко найти в литературе (Ладыженская [1]), мы только вкратце изложим метод ее доказательства, отличный от обычного (см. Соболевский [1]).