Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Прежде чем сформулировать теорему о гладкости, напомним уравнения, которые мы рассматриваем. Қлассические уравнения Навье — Стокса, описывающие движение однородной несжимаемой вязкой жидкости, как уже упоминалось в гл. 1, таковы: Здесь $M$ — компактное риманово многообразие с гладкой границей $\partial M$, обычно — открытое множество в $\mathbb{R}^{3}$. Уравнения Эйлера получаются в предположении $v=0$ при замене граничных условий на условие $\mathbf{v} \| \partial M^{1}$ ): Давление $p(t, x)$ в этих уравнениях определяется из условия несжимаемости. Уравнения Эйлера являются вырожденным предельным случаем уравнений Навье — Стокса. Переход к пределу при $v \rightarrow 0$ является очень коварным, и в последнее время он интенсивно изучается. Исчезновение членов со старшей производной и соответствующее резкое изменение граничных условий — вот источник трудностей и причина, почему столь нелегки задачи теории пограничного слоя и теории турбулентности. Эту тему мы обсудим позднее. Отметим, что уравнения Эйлера обратимы в том смысле, что если мы решим их для любых начальных условий и $t \geqslant$ $\geqslant 0$, то мы можем решить их также для $t<0$. Это следствие того, что если при $t \geqslant 0 \mathbf{v}_{t}$ — решение, то и $\mathbf{w}_{t}=-\mathbf{v}_{-t}, t<$ $<0$ — тоже решение. Для целых $s \geqslant 0$ и $p, 1<p<\infty$, обозначим через $W^{s, p}$ пространство Соболева функций (или вектор-функций) на $M$, производные которых до порядка $s$ лежат в $L_{p}$; другим опи- санием $W^{s, p}$ является пополнение $C^{\infty}$-функций $f$ по норме где $D^{\alpha} f$ есть полная $\alpha$-я производная $f$. Более подробные сведения о пространствах Соболева можно найти у Фридмана [1] $\left.{ }^{1}\right)$. Укажем, что для некомпактной области важную роль играют асимптотические условия, и многие результаты, обсуждаемые здесь, в некомпактном случае неизвестны (см. тем не менее Кантор [1] и Мак-Кракен [2]). Следующий результат является специальным случаем общей теоремы, доказанной Морри [1]. Прямое доказательство см. у Бургиньона и Брезиса [1]. где $\operatorname{div} Y=0$ и $Y \| \partial M$. Кроме того, $Y \in \mathbb{W}^{s, p}, a g \in \mathbb{W}^{s+1, p}$. Если $s=0$, то определение тем не менее имеет смысл, а пространство обозначается $J_{p}$ (см. Ладыженская [1]). Тогда задачу решения уравнений Навье — Стокса можно записать так: найти $v_{t} \in \widetilde{W}_{0}^{s, 0}$, такое, что Случай $p Этот полупоток удовлетворяет условиям 8.1 и 8.2, предположению о гладкости в п. 8.3 гл. 8 , поэтому можно применять теоремы о рождении. (Остальные предположения в п. 8.3 и п. 8.4 зависят от конкретной задачи и должны проверяться вычислением.) Другими словами, технические трудности, связанные с тем, что мы имеем дело с уравнениями в частных производных, а не с обыкновенными дифференциальными уравнениями, преодолеваются автоматически. Перед доказательством гладкости нам необходимо иметь локальную теорему существования. Так как ее легко найти в литературе (Ладыженская [1]), мы только вкратце изложим метод ее доказательства, отличный от обычного (см. Соболевский [1]).
|
1 |
Оглавление
|