Из доказательства теоремы 4.5 нам известно, что замкнутая орбита поля $\hat{X}_{\mu}$ будет устойчивой, если $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ (или, в более общем случае (см. гл. 3В), если первая ненулевая производная $V$ в начале координат отрицательна). Производные $V$ в точке $(0,0)$ можно вычислить, если известны производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Сделаем это в два этапа. Во-первых, выразим $V^{\prime \prime \prime}(0)$ через производные векторного поля $\boldsymbol{X}_{0}$ на центральном многообразии в точке $(0,0)$, используя уравнение
\[
V\left(x_{1}\right)=\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \hat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t,
\]

где $\left(a_{t}, b_{t}\right)$ – поток, порожденный $X$. (Заметим, что в двумерном случае $X=\hat{X}$.) Затем производные $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ выразим через производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Так как
\[
\hat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mathrm{u}}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), \quad X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right),\right.
\]

то нам необходимо знать производные $f$ в точке $(0,0,0)$. Мы найдем их, используя локальную инвариантность центрального многообразия относительно потока, порожденного векторным полем $X$. Воспользуемся уравнением
\[
\begin{array}{c}
X_{\mu}^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)=d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)+ \\
+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right) .
\end{array}
\]