Для того чтобы получить критерий гладкости, нам необходимо использовать некоторые результаты о линейных эволюционных уравнениях. Эти результаты взяты из работ Като $[1,4,5$,$] . Мы начнем с определения эволюционной систе-$ мы. (Излагаемое ниже является сокращенным вариантом работы Дорро и Марсдена [1].)
(8A.15) Определение. Пусть $X$ – банахово пространство и $T>0$. Подмножество $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ пространства $B(X)=B(X, X)$ (ограниченных операторов на $X$ ) называется эволюционной системой в $X$, если
(1) $U(t, t)=I$ для $0 \leqslant t<T$ и
(2) $U(t, s) U(s, r)=U(t, r)$ для $0 \leqslant r \leqslant s \leqslant t<T$.
Эволюционная система $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ в $X$ называется сильно непрерывной, если для каждого $f \in X$ функция $U(\cdot, \cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T) \times[0, T)$ в $X$. $X$-инфинитезимальное производящее семейство для $\{U(t, s)\}$ – это семейство $\{A(s) \mid 0 \leqslant \mathrm{~s}<T\}$ операторов в $X$, определенных следующим образом:
\[
A(s) f=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{-1}[U(s+\varepsilon, s) f-f],
\]
где $D(A(s))$ состоит из всех $f$, для которых этот предел существует; предел берется в топологии $X$.
(8A.16) Замечания. (а) Если $\{U(t, s)\}$ – сильно непрерывная эволюционная система в $X$, то, как следует из принципа равномерной ограниченности, $\|U(t, s)\|_{B(x, x)}$ ограничена при $s$ и $t$, изменяющихся в ограниченных замкнутых интервалах.
(б) Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ – сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$, и пусть $0<a<T$. Тогда $\{A(s+a) \mid 0 \leqslant s<T-a\}$ является $X$-инфинитезимальным производящим семейством сильно непрерывной эволюционной системы $\{U(t+a, s+a) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T-a\}$.
(8A.17) Утверждение. Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}-$ сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинигезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$. Если $f \in D(A(s))$ для всех $s, 0 \leqslant s<T$ и $A(\cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T)$ в $X$, то
\[
\frac{\partial}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f
\]
для $0 \leqslant s \leqslant t<T, t>0$.
Доказательство. Если $0 \leqslant s<t<T$, то
\[
U(t, s+\varepsilon) f-U(t, s) f=U(t, s+\varepsilon)[f-U(s+\varepsilon, s) f],
\]
и поэтому
\[
\frac{\partial^{+}}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f .
\]
Таким образом, для каждого $t \in(0, T)$ функция $U(t, \cdot) f$ имеет непрерывную правую производную на $[0, T)$. Поэтому функция $U(t, \cdot) f$ непрерывно дифференцируема на $[0, T)$ (см. Иосида [1], стр. 239) и соотношение (8А.5) выполняется для $0 \leqslant s<t<T$. Так как производная $U(t, \cdot) f$ имеет предел слева в точке $t$, то
\[
\frac{\partial^{-}}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f
\]
для $0<s=t<T$. Но это как раз равенство (8A.5) при $s=t$.
(8А.18) Следствие. Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}-$ сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$. Пусть
$f(s) \in D(A(s))$ для $0 \leqslant s<T$ и предположим, что $f-$ непрерывно дифференцируемая функция, отображающая $[0, T)$ в $X$, и $A(\cdot) f(\cdot)$ отображает $[0, T)$ в $X$ непрерывно. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\quad \frac{\partial}{\partial s}[U(t, s) f(s)]=U(t, s) f^{\prime}(s)-U(t, s) A(s) f(s) \\
\text { для } 0 \leqslant s \leqslant t<T, t>0 .
\end{array}
\]
Доказательство. Оно вытекает из утверждения (8A.17), сильной непрерывности $\{U(t, s)\}$ и локальной ограниченности $\|U(t, s)\|_{B(x, x)}$.
Мы называем (8A.5) обратным дифференциальным уравнением. Для того чтобы прямое дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial t}[U(t, s) f]=A(t) U(t, s) f
\]
было справедливо, необходимо, чтобы $U(t, s) f \in D(A(t))$, а это более ограничительное условие, которое может и не выполняться, в то время как условия утверждения выполнены.
Предположим теперь, что $Y$ – другое банахово пространство, которое плотно и непрерывно вложено в $X$.
(8A.19) Определение. Эволюционная система $\{U(t, s)\}$ в $X$ называется $Y$-регулярной, если каждый оператор $U(t, s)$ непрерывно отображает $Y$ в $Y$ и $\{U(t, s)\}$ сильно непрерывна в $Y$, т. е. если $\{U(t, s)\}$ – сильно непрерывная эволюционная система как в $X$, так и в $Y$.
Като в [4] и [5] дает ряд условий на семейства опе аторов $\{A(s)\}$, действующих в $X$, достаточных для того, чтобы эти семейства были $X$-инфинитезимальными производящими семействами сильно непрерывной эволюционной системы в $X$. Некоторые из этих условий достаточны также и для того, чтобы эволюционная система была $Y$-регулярной, и для того, чтобы прямое дифференциальное уравнение выполнялось. Кроме того, он доказывает несколько теорем сходимости для эволюционных систем и дает для операторных норм верхние границы, выраженные через определенные параметры инфинитезимального семейства. Так как это непосредственно связано с нашими дальнейшими результатами, мы кратко перечислим здесь важнейшие моменты для удобства ссылок. Детали и дальнейшие замечания можно найти в работах Като.
(8А.20) Определения. Пусть $A \in G(X)=\{$ множество производящих операторов для полугрупп в $X\}$. Y называется допустимым относительно $A$ или просто $A$-допустимым, если $\left\{e^{t A}\right\}$ оставляет $Y$ инвариантным и образует полугруппу класса $C_{0}$ в $Y$.
Подмножество из $G(X)$ называется устойчивым, если существуют постоянные $M$ и $\beta$ (называемые постоянными устойчивости), такие, что для любых элементов $A_{1}, \ldots, A_{k}$ этого подмножества и $\lambda>\beta$ выполнено неравенство
\[
\left\|\prod_{j=1}^{k}\left(\lambda I-A_{j}\right)^{-1}\right\| \leqslant M(\lambda-\beta)^{-k} .
\]
(8A.21) Теорема существования. Пусть $T>0, \quad A(t) \in$ $\in G(X)$ для $0 \leqslant t<T$, и предположим, что
(1) $\{A(t) \mid 0 \leqslant t<T\}$ устойчиво с постоянными $M, \beta$;
(2) для каждого $t$ подпространство $Y A(t)$-допустимо, $и$ если обозначить ограничение $A(t)$ на $Y$, действующее в $Y$, через $A^{*}(t) \in G(Y)$, то $\left\{A^{*}(t)\right\}$ устойчиво с постоянными $M^{*}, \beta^{*}$.
(3) $Y \subset D(A(t))$ для каждого $t$ и $A^{-(\cdot)}$ – непрерывное отображение $[0, T)$ в $B(Y, X)$, где $A^{-}(t)$ – ограничение $A(t)$ на $Y$ (называемое частью $A(t)$, действующей из $Y$ в $X$ ).
Тогда в $X$ существует единственная сильно непрерывная эволюционная система $\{U(t, s)\}$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством, являющимся продолжением $\{A-(t)\}$, т.е. с таким производящим семейством $\{B(t)\}$, что $B(t) \sqsupset$ $\supset A^{-}(t)$ для каждого $t$. Кроме того,
\[
\|U(t, s)\|_{B(X, X)} \leqslant M e^{\beta(t-s)} \quad \partial л я \quad 0 \leqslant s \leqslant t<T .
\]
(8A.22) Замечания. (a) Если $A(t)$ не зависит от $t$, то условие устойчивости для $A$ является условием теоремы Хилле – Иосиды (Иосида [1]).
(б) На самом деле в теореме (8A.21) Қато показывает, что $X$-инфинитезимальное производящее семейство есть в точности $\{A(t)\}$.
Мы можем добавить любой ограниченный оператор к семейству производящих операторов $\{A(t)\}$ и все еще получить производящие операторы.
(8А.23) Замечание. Пусть $\{A(t) \mid 0 \leqslant t<T\}$ удовлетворяет условиям теоремы (8A.21), $B(t) \in B(X, X)$ для $0 \leqslant t<$ $<T$, и пусть функция $B(\cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T)$ в $X$ при каждом $f \in X$. Тогда в $X$ существует единственная сильно непрерывная эволюционная система, для которой $X$-инфинитезимальное производящее семейство является расширением $\{A(t)+B(t)\}$.
В примерах бывает трудно проверить выполнение условия устойчивости (1). Для этого у нас имеется полезный критерий, данный в следующем ниже утверждении. Сначала некоторые обозначения: пусть $G(X, M, \beta)$ обозначает производящие операторы $A$ на $X$ с постоянными $M, \beta$, т. е. при $\lambda>\beta$ $\left\|(\lambda I-A)^{-k}\right\| \leqslant M /(\lambda-\beta)^{k}$ (для полугруппы это соответствует условию $\left\|F_{t}\right\| \leqslant M e^{\beta t}$ ). В частности, если $M=1$, то мы имеем производящий оператор квазисжимающей полугруппы, и соответствующее условие будет $\left\|(\lambda I-A)^{-1}\right\| \leqslant 1 /(\lambda-\beta)$, $\lambda>\beta$, или для потока $\left\|F_{t}\right\| \leqslant e^{\beta t}$. Примеры такого типа полугрупп общеизвестны.
(8А.24) Замечание (Троттер, Феллер). Для данной полугруппы $F_{t}$ с производящим оператором $A \in G(X, M, \beta)$ пространство $X$ можно перенормировать так, чтобы $\left\|F_{t}\right\| \leqslant e^{\beta t}$. Новая норма – это $\|x\|\left\|=\sup _{t \geqslant 0}\right\| e^{-\beta t} F_{t}(x) \|$.
Однако следует отметить, что не всегда возможно перенормировать $X$ так, чтобы одновременно две полугруппы стали квазисжимающими.
(8А.25) Теорема. Пусть для каждого $t\|\cdot\|_{t}$ является новой нормой на $X$, эквивалентной исходной и гладко зависящей от $t$, т. е. удовлетворяющей условию
\[
\|x\|_{t} /\|x\|_{s} \leqslant e^{c|t-s|}, \quad x \in X, \quad 0 \leqslant s, t \leqslant T .
\]
Пусть $A(t)$ для каждого $t$ определяет производящий оператор квазисжимающей полугруппы с постоянной $\beta$ в норме $\|\cdot\|_{t}$. Тогда $\{A(t)\}$ устойчиво на $X$ с $M
eq e^{2 c T}, 0 \leqslant t \leqslant T$ относительно любой из норм $\|\cdot\|_{t}$.
Доказательство фактически является простой проверкой; см. Като [3, предл. 3.4].
Существует другой полезный критерий проверки условий (8A.21).
(8А.26) Теорема. Пусть в (8А.21) выполнены условия 1) и 3), а условие 2) заменим на
$2^{\prime \prime}$ ) существует семейство $\{S(t)\}$ изоморфизмов $Y$ на $X$, таких, что
\[
S(t) A(t) S(t)^{-1}=A(t)+B(t)
\]
$B(t) \in B(X)$, где $B:[0, T) \rightarrow B(X)$ сильно непрерывно. Предположим, что $S:[0, T) \rightarrow B(Y, X)$ сильно класса $C^{1}$.
Тогда имеют место заключения теоремы (8A.21) ((2) $\rightarrow$ $\rightarrow\left(2^{\prime \prime}\right)$ ) и, более того, прямое дифференциальное уравнение удовлетворяется и эволюционная система $Y$-регулярна.
Приведем две важные аппроксимационные теоремы (см. Като [5]).
(8А.27) Теорема. Пусть $\left\{A_{n}(t)\right\}$ удовлетворяют условиям теоремы (8А.21), $n=0,1,2, \ldots$, причем константы устойчивости в (1), (2) не зависят от п. Предположим, что
\[
\left\|A_{0}^{-}(t)-A_{n}^{-}(t)\right\|_{B(Y, X)} \rightarrow 0 \quad n p u \quad n \rightarrow \infty
\]
равномерно по $t$. Тогда $U_{n}(t, s) \rightarrow U_{0}(t, s)$ сильно в $B(X)$, равномерно по $t, s \in[0, T) \quad u \quad\left\|U_{n}(t, s)-U_{0}(t, s)\right\|_{B(Y, X)} \rightarrow 0$ nри $n \rightarrow \infty$.
(8А.28) Теорема. Пусть $\left\{A_{n}(t)\right\}$ удовлетворяют предположениям (8А.26), $n=0,1,2, \ldots$, в которых основные постоянныл $M, \beta,\|S\|_{\infty, Y, x},\left\|S^{-1}\right\|_{\infty, Y, x},\|B\|_{\infty, X, x},\|S\|_{\infty, Y, x}$ nогут быть выбраны независимо от п. Предположим, что $\| A_{0}(t)$ – $A_{n}(t) \|_{B(Y, x)} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ равномерно по $t$, как в (8А.26), и в дополнение к этому, что $B_{n}(t) \rightarrow B_{0}(t)$ в $B(X), S_{n}(t) \rightarrow$ $\rightarrow S_{0}(t)$ в $B(Y, X), S_{n}(t) \rightarrow S_{0}(t)$ в $B(Y, X)$ равномерно по $t$. Тогда
\[
U_{n}(t, s) \rightarrow U_{0}(t, s)
\]
сильно в $B(Y)$ равномерно по $t, s \in[0, T)$.
