7.10. Двумерное ДПФ

Завершая общее описание двумерных сигналов и систем, рассмотрим коротко двумерное ДПФ и эффективный способ его вычисления с помощью одномерного БПФ.

Двумерный периодический сигнал удовлетворяет условию

где — период по первой координате, — период по второй координате, а — произвольные целые числа. Индекс в формуле (7.38) указывает, что сигнал периодичен. Как и в одномерном случае, двумерный периодический сигнал можно представить линейной комбинацией конечного числа комплексных экспонент, причем кратны их периодам, т. е.

Коэффициенты Фурье представляют амплитуду составляющей при . Значения коэффициентов легко найти, вычислив значения двумерного z-преобразования на одном периоде последовательности на частотах , что дает

Соотношение (7.39) называют двумерным обратным дискретным преобразованием Фурье, а (7.41) — двумерным дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим некоторые свойства преобразований (7.39) и (7.41). Одно из важных свойств связано с возможностью вычисления двумерных преобразований (7.39) и (7.41) с помощью последовательности одномерных ДПФ, а другое — с обобщением преобразований (7.39) и (7.41) на сигналы конечной длины. Первое свойство можно показать, переписав преобразование (7.41) в виде

При изменении от 0 до суммы в квадратных скобках образуют одномерных ДПФ. Обозначив результат каждого из одномерных ДПФ через , перепишем соотношение (7.41) в виде

Полученное соотношение снова представляет собой одномерных ДПФ, соответствующих изменению от 0 до . Вышеизложенное легко обобщить на случай обратного ДПФ.

Второе свойство, заключающееся в том, что ДПФ полностью представляет последовательность конечной длины , легко проверить, если в формулах (7.39) и (7.41) положить значения равными нулю вне области . Такие последовательности будем называть последовательностями конечной длины и обозначать через . Хотя последовательность уже не является периодической, ее значения совпадают на одном периоде со значениями ее периодического эквивалента, так что ДПФ и обратное ДПФ дают возможность просто и точно найти коэффициенты Фурье последовательности конечной длины. Главное различие между и периодической последовательностью состоит в том, что преобразование Фурье от является непрерывной функцией частот тогда как спектр периодической последовательности состоит из линий, расположенных на кратных частотах.

Выше рассматривалось применение прямого и обратного ДПФ для фильтрации одномерных сигналов. Они могут быть использованы и в двумерном случае. По-видимому, метод быстрой свертки, основанный на алгоритме БПФ, является наиболее важным средством выполнения двумерной фильтрации.