2.10. Дискретный ряд Фурье

Поскольку частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией частоты , равенство (2.33) можно рассматривать как разложение  в ряд Фурье, причем коэффициенты разложения являются одновременно отсчетами импульсной характеристики системы. Согласно теории рядов Фурье, коэффициенты  могут быть выражены через  следующим образом:

                                              (2.52)

Таким образом, равенства (2.33) и (2.52) представляют собой пару преобразований Фурье. Из соотношения (2.52) видно, что  по существу является суперпозицией синусоид  с амплитудами . Пара преобразований (2.33) и (2.52) справедлива для любой последовательности с конечной суммой (2.33), поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде

                                              (2.53)

где

                                  (2.54)

Согласно формулам (2.31) и (2.32), отклик на последовательность  равен , поэтому откликом на входную последовательность (2.53) будет

                                           (2.55)

(для суммирования откликов использовано свойство линейности системы). Из равенства

                                (2.56)

Фиг. 2.12. Частотная характеристика системы с частотой дискретизации10 кГц.

нетрудно увидеть, что (2.55) является одним из двух соотношений, представляющих собой пару преобразований Фурье для последовательности . Таким образом, показано, что и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножениюв частотной области. Итак, частотная характеристика  представляет собой отклик системы на ограниченный класс входных последовательностей вид , . Однако с учетом соотношения (2.53), показывающего, что произвольные последовательности являются суперпозицией таких экспонент, она является важным средством описания отклика системы почти на любые входные последовательности.