11.7.4. ФУНКЦИИ SIN X И COS X

Синусный преобразователь предназначен для реализации выражения

в диапазоне изменения входного напряжения — Для малых значений входного напряжения можно записать

Целесообразно выбирать значение амплитуды так, чтобы вблизи нуля выполнялось условие . В этом случае выбирается в соответствии с соотношением

Следовательно, при малых значениях входного напряжения синусный

Рис. 11.25. Степенная функция.

Рис. 11.26. Схема реализации синусной функции с точками излома. при

преобразователь должен иметь коэффициент передачи, равный 1, который при больших значениях напряжения должен уменьшаться. Схема, удовлетворяющая этим требованиям, приведена на рис. 11.26. Она основана на принципе кусочной аппроксимации.

При малых значениях входного напряжения все диоды заперты и выходное напряжение, как и требовалось, равно входному При достижении выходным напряжением значения диод открывается. Теперь выходное напряжение будет нарастать медленнее входного, так как резисторы образуют делитель напряжения. Когда выходное напряжение станет больше подключится дополнительное плечо делителя напряжения и коэффициент передачи входного сигнала еще уменьшится. Наконец, диод служит для аппроксимации синусной характеристики касательной в точке максимума. Соответствующие диоды предназначены для аналогичной аппроксимации характеристики при отрицательных входных напряжениях. Следует учитывать, что диоды будут отпираться не мгновенно, а в соответствии с их экспоненциальными характеристиками; это позволяет реализовать синусную характеристику с достаточно малой погрешностью при небольшом числе диодов.

Для расчета параметров схемы необходимо сначала задать точки излома аппроксимирующей кривой с кусочно-постоянным наклоном. Можно показать, что первые нечетных гармоник будут отсутствовать, если положения точек излома будут удовлетворять следующему соотношению [11.2]:

Соответствующие им значения выходного напряжения с учетом выражений (11.30) и (11.31) определяются формулой

Наклон соответствующих аппроксимирующих отрезков равен

Как уже отмечалось, в точке максимума аппроксимирующий отрезок горизонтален, т.е. Коэффициент определяющий наклон начального участка, выбран равным единице.

Вследствие симметрии аппроксимирующей характеристики четные гармоники в выходном сигнале будут отсутствовать. Учитывая влияние эффективных значений нечетных гармоник, можно теоретически оценить погрешность аппроксимации. Так, погрешность не превышает 1,8% для точек излома, 0,8% для В результате сглаживания аппроксимирующей кривой, обусловленного реальными характеристиками диодов, фактические значения погрешностей будут еще меньше. Покажем это на реальном примере.

Треугольное напряжение с максимальным значением В необходимо преобразовать в синусное напряжение. Из формулы (11.31) получим значение для амплитуды выходного сигнала при этом наклон нулевых участков, как и требовалось, будет точно равен единице. Выберем для аппроксимации точек излома кривой. С помощью формулы (11.33) вычислим соответствующие значения напряжения входного сигнала, при которых изменяется наклон кривой. Они равны Учитывая реальные характеристики диодов, следует скорректировать полученные значения напряжения так, чтобы начальный момент открывания диодов наступал при входном напряжении, меньшем на 0,5 В. Окончательно получаем Значения сопротивлений резисторов определяющих коэффициент передачи входного сигнала, приведены на схеме рис. 11.26. Эмиттерные повторители на транзисторах служат в качестве источников напряжения для установки напряжения и одновременно для температурной компенсации прямого напряжения диодов.

Рис. 11.27. Зависимость выходного напряжения и напряжения ошибки (увеличенного в 50 раз) от величины входного сигнала. Масштаб: по вертикали - 2 в/дел, по горизонтали -1 в/дел.

Наклоны трех участков определим с помощью формулы (11.34): Значение сопротивления резистора выберем равным Пренебрегая внутренним сопротивлением цепей делителя напряженйя, можно записать

откуда получим значение сопротивления Расчет сопротивления производится на основании формулы

Вычисленное значение равно

Для точной настройки схемы применяется заграждающий фильтр (см. разд. 13.9), выделяющий основную гармонику, и исследуются осциллограммы напряжения сигнала ошибки. Оптимум достигается тогда, когда максимальные значения сигнала ошибки будут равны (рис. 11.27). Измеренный коэффициент искажений составляет 0,42%, что оказывается значительно меньше теоретического значения для диодов с идеальными характеристиками.

Применение степенных рядов

Другой способ аппроксимации функции состоит в ее представлении в виде

Рис. 11.28. Аппроксимация синусной функции рядом. при

степенного ряда:

Для уменьшения затрат обычно используют только два первых члена ряда, что приводит к появлению погрешности воспроизведения функции. Ограничив изменение аргумента диапазоном — можно минимизировать эту погрешность, несколько изменив значения коэффициентов разложения [11.3]:

В этом случае погрешность для значений равна нулю, а между этими точками абсолютная ошибка не превышает 0,57% амплитуды. Коэффициент нелинейных искажений составляет 0,6%. Он может быть уменьшен с помощью незначительного изменения коэффициентов до 0,25%, что оказывается несколько лучше, чем при кусочной аппроксимации для точек излома, рассмотренной выше. Влияние погрешностей в точках излома кривой оказывается весьма существенным, если выходной сигнал будет подвергаться дифференцированию.

Для схемотехнической реализации положим

Далее будем считать, что тогда из формулы (1135) следует, что

Блок-схема реализации этого уравнения приведена на рис. 11.28. При этом в качестве амплитуды входного сигнала была выбрана константа блока умножения. С блоками умножения мы познакомимся в следующем разделе.

Дифференциальный усилитель

Еще один способ синусной аппроксимации основан на том, что функция гиперболического тангенса для малых значений х близка к функции Эта функция может быть достаточно просто реализована с помощью дифференциального усилителя, изображенного на рис. 11.29. Как было показано в разд. 11.7.1, для дифференциального усилителя из формулы (11.29) следует, что

Используя эти соотношения, получим

Операционный усилитель формирует разность коллекторных токов в соответствии с соотношением

Отсюда следует, что

Рис. 11.29. Аппроксимация синусной функции с помощью дифференциального усилителя.

Эту функцию приближенно при можно интерпретировать как синус:

Качество аппроксимации синусной характеристики зависит от выбора значения Хорошая аппроксимация может быть получена, если выбрать При этом погрешность воспроизведения функции минимальна, а амплитуда выходного сигнала равна Абсолютная ошибка составляет при этом не более 3% амплитудного значения, причем максимальное значение ошибка принимает на краях заданного диапазона. Обрезав вершины аппроксимирующей функции с помощью двух диодов, можно уменьшить коэффициент искажений с 1,3% примерно до 0,4%.

Функция cos х

Функция при изменении аргумента в диапазоне к может быть реализована с помощью уже описанной схемы, используемой для формирования функции Для этого требуется, чтобы значения входного сигнала находились в диапазоне от до и было сформировано вспомогательное напряжение

Рис. 11.30. График вспомогательного напряжения для реализации косинусной функции, изображенной пунктиром.

Рис. 11.31. Реализация косинусной функции с помощью схемы синусной функции при

Из рис. 11.30 видно, что при этом сразу получается первое приближение для функции Скругление прямой в областях максимума и минимума выполняется с помощью блока формирования функции (рис. 11.31). Как видно из рисунка, для этого дополнительно нужно использовать одну простую схему суммирования.

Одновременное формирование функций sin x и cos х для аргумента, изменяющегося в диапазоне ...

Описанные до сих пор устройства позволяют формировать функции для одного полупериода. Если же изменение аргумента превышает период, то для реализации указанных функций используют их первое приближение в виде треугольной функции, которое затем сглаживается с помощью вышеупомянутых устройств. Вид треугольных напряжений показан на рис. 11.32.

Напряжение служит для аппроксимации функции Для входного напряжения большего нуля, оно идентично напряжению на рис. 11.30. При оно представляет собой зеркальное отображение относительно оси у. Для его описания можно использовать выражение (11.38), заменив на

Более сложно описывается функция Для ее представления следует рассмотреть три области изменения входного напряжения:

при

Рис. 11.32. Графики вспомогательных напряжений для реализации синусной и косинусной функций в диапазоне

При реализации таких функций лучше всего использовать точные функциональные преобразователи, описанные ниже.