9. Базовые логические схемы

На первый взгляд цифровые устройства кажутся относительно сложными. Однако они основаны на принципе многократного повторения относительно простых базовых логических схем. Связи между этими схемами строятся на основе чисто формальных методов. Инструментом такого построения служит булева алгебра, которая применительно к цифровой технике называется также алгеброй логики. Основные понятия алгебры логики приводятся в последующих разделах.

9.1. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В отличие от переменной в обычной алгебре логическая переменная имеет только

Коммутативный закон:

Ассоциативный закон:

Дистрибутивный закон:

Правило склеивания:

Правило повторения:

Правило отрицания:

Правило двойного отрипания:

Теорема де Моргана:

Операции с и 1:

два значения, которые обычно называются логическим нулем и логической единицей. В качестве обозначений используются «0» и «1» или просто 0 и 1. В дальнейшем мы будем придерживаться последнего обозначения. Не следует опасаться спутать эти символы с числами 0 и 1, так как в каждом конкретном случае бывает ясно, относился ли данная запись к числу или к логическому значению.

Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание). По аналогии с алгеброй чисел в алгебре логики используются следующие обозначения операций.

Конъюнкция:

Дизъюнкция:

Инверсия:

Применительно к логическим операциям существуют теоремы:

Многие из этих теорем уже известны из алгебры чисел. Однако теоремы для чисел несправедливы; кроме того, понятие «инверсия» для чисел вообще не определено. Выражения типа в алгебре логики не встречаются в силу правила повторения.

Сравнивая левые и правые уравнения, следует обратить внимание на содержащийся в них дуализм: если в каком-нибудь тождестве поменять местами конъюнкцию с дизъюнкцией и с 1, то при этом также получится тождество.

С помощью выражений можно вычислить результаты конъюнкции и дизъюнкции для всех возможных значений переменных В табл. 9.1 и 9.2 представлены функции соответственно для конъюнкции и дизъюнкции.

Таблица 9.1 (см. скан) Таблица истинности для логического умножения (конъюнкции)

Таблица 9.2 (см. скан) Таблица истинности для логического сложения (дизъюнкции)

Из табл. 9.1 следует, что у только тогда равен 1, когда равны 1. На этом основании операция конъюнкции называется также функцией И. При дизъюнкции двух переменных у равен 1 тогда, когда или равны 1. Поэтому операцию дизъюнкции называют также функцией ИЛИ. Обе эти функции можно распространить на сколь угодно большое число переменных.

Возникает вопрос: как можно представить логические функции с помощью электрических переключающих схем? Так как логические переменные могут иметь только два дискретных значения, то следует обратить внимание на схемы, которые могут находиться в двух легко различимых рабочих состояниях. Простейшим способом реализации логической переменной является ключ, изображенный на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Представление логической переменной в виде ключа.

Можно условиться, что разомкнутый ключ эквивалентен логическому нулю, а замкнутый-логической единице. Таким образом, ключ реализует переменную если он замкнут при и переменную если он разомкнут при

Рассмотрим сначала, какая логическая функция будет реализована, если два ключа соединить последовательно, как показано на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Схема И.

Значение зависимой переменной у характеризуется тем, будет ли замкнута или разомкнута составная коммутируемая цепь, расположенная между входными клеммами. Очевидно, что рассматриваемая цепь будет замкнута только тогда, когда замкнуты, т.е. равны единице. Таким образом, последовательное включение ключей реализует функцию И. Функция ИЛИ может быть получена, если ключи включить параллельно.

С помощью такой схемной логики можно наглядно показать справедливость ранее приведенных теорем. Рассмотрим это на примере правила повторения. На рис. 9.3 показана реализация обеих частей выражения (9.5 а) с помощью коммутируемой цепи. Легко заметить, что рассматриваемое тождество выполняется, поскольку два включенных последовательно ключа, замыкание и размыкание которых происходит одновременно, воздействуют на внешние цепи как один такой ключ.

Другой возможностью представления логических переменных является электрическое напряжение, имеющее два различных уровня: высокий и низкий, которое было рассмотрено в разд. 8.1. Этим

Рис. 9.3. Доказательство с помощью электротехнической аналогии правила повторения

уровням можно поставить в соответствие логические состояния 1 и 0. Эта система обозначений: высокий и низкий называется позитивной логикой. Но возможна также и обратная система обозначений: высокий и низкий которая называется негативной логикой.

Основные логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих электронных схем. Эти схемы имеют один или несколько входов и один выход. Как правило, они называются логическими элементами. Уровень выходного напряжения определяется уровнями напряжения на входах и характером логической функции. Для реализации одной и той же логической функции существует большое число различных электронных схем. Поэтому с целью упрощения документации были введены символы, которые обозначают лишь только логическую функцию и не раскрывают внутреннее строение схемы. Эти обозначения представлены на рис. 9.4-9.6.

Рис. 9.4. Схема И

Рис. 9.5. Схема ИЛИ

Рис. 9.6. Схема НЕ

Поскольку в цифровой технике напряжение не рассматривается как физическая величина, а берется его логическое значение, мы не будем обозначать входные и выходные сигналы символами и т.д., а будем непосредственно записывать обозначения логических переменных.