22.4.2. СТРУКТУРА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Если к схеме на рис. 22.12 прибавить звено задержки, то получится фильтр второго порядка, который представлен на рис. 22.13. Существует, кроме того, возможность дальнейшего наращивания схемы [22.2], которую здесь, однако, мы не будем рассматривать подробно. Фильтр более высокого порядка может быть реализован добавлением следующего элемента задержки. Наиболее просто осуществлять каскадирование фильтров первого и второго порядка. Необходимая для этого факторизованная форма передаточной функции легко может быть получена подстановкой коэффициентов, приведенных на рис. 13.14, в формулы (2226).

Передаточная функция блока фильтрации на рис. 22.13 получена тем же способом, что и для фильтра первого порядка. Анализируя схему на рис. 22.13, можно записать

Отсюда следует

С помощью этой схемы можно реализовать любую искомую передаточную функцию фильтра второго порядка.

Теперь, как и в случае фильтров первого порядка, рассмотрим некоторые специфические свойства коэффициентов. Применяя формулы пересчета (22.26) для различных способов фильтрации, можно получить следующие выражения: для фильтра нижних частот

для фильтра верхних частот

для полосового фильтра

Рис. 22.13. Цифровой фильтр второго порядка.

Выбор параметров схемы проиллюстрируем числовым примером. Рассмотрим фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью и затуханием на частоте среза Гц. Аналоговый сигнал занимает полосу а частота выборки Отсюда получается нормированная частота выборки

Используя формулу (22.21), определяем нормированный коэффициент

Из табл. 13.6 получаем непрерывную пере даточную функцию

Сравнивая найденное выражение с формулой (22.23), определяем значения коэффициентов

Подстановка этих значений в формулы (22.26) дает

Из формулы (22.32) находим цифровую передаточную характеристику

которая может быть реализована по схеме, приведенной на рис. 22.13.

Отношение частоты выборки к частоте среза для выбранных параметров составляет 100. Частота среза пропорциональна частоте выборки. Следовательно, частотой среза можно управлять с помощью частоты выборки. Это особенность всех цифровых фильтров.

В качестве второго примера рассмотрим полосовой фильтр. Частота выборки, как и в предыдущем примере, составляет Резонансная частота Следовательно,

При добротности 10 непрерывная передаточная характеристика определяется из формулы (13.24):

Отсюда с учетом формулы (22.26) при

3,078 находим цифровую передаточную функцию

При добротности 100 имеем

Рассмотрим теперь случай При этом получается

С возрастанием добротности и частоты выборки коэффициент всегда уменьшается, тогда как Параметры фильтра очень близки к 1 и — 2 соответственно. Это усиливает требования к точности коэффициентов, т. е. нужна большая длина слова в фильтре. Чтобы ограничить аппаратурные затраты, необходимо выбирать частоту выборки по возможности малой.