13. Активные фильтры

13.1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ

В разд. 2.1 и 2.2 были рассмотрены схемы простых фильтров нижних и верхних частот. Схема простейшего фильтра нижних частот еще раз показана на рис. 13.1. Из соотношения (2.1) следует, что выходное напряжение фильтра зависит от частоты входного сигнала. Эта зависимость определяется формулой

Заменив на получим отсюда передаточную функцию фильтра

Передаточная функция определяет зависимость преобразований Лапласа выходного и входного напряжений для произвольных временных сигналов. Переход от передаточной функции к частотной характеристике для синусоидальных входных сигналов можно выполнить, положив

Для реализации общего подхода целесообразно нормировать комплексную переменную Положим

При в этом случае получим

Частота среза фильтра на рис. 13.1 равна Отсюда получим и

Рис. 13.1. Простейший фильтр нижних частот первого порядка.

Используя передаточную функцию для оценки зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты, запишем

При т. е. для случая, когда частота входного сигнала Это соответствует снижению коэффициента передачи фильтра на на декаду.

Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид

где действительные положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что при Уменьшение коэффициента передачи характеризуется величиной на каждую декаду. Отметим, что корни передаточной функции (13.2) являются отрицательными и действительными. Таким «вой-ством обладают пассивные RC-фильтры порядка. Соединив последовательно фильтры нижних частот с одинаковой частотой среза, получим

Этот случай соответствует критическому затуханию. Отдельные фильтры (звенья) обладают при этом частотой среза, превышаюшей частоту среза всего фильтра на коэффициент

Передаточная функция фильтра нижних частот в общем виде может быть записана как

где - положительные действительные коэффициенты. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя

на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома (13.2) не может быть использовано. В этом случае следует записать его в виде произведения сомножителей второго порядка:

где и положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент равен нулю.

Параметры фильтра могут быть оптимизированы но различным критериям. Для удовлетворения каждому из выбранных критериев оптимизации коэффициенты передаточной функции должны иметь строго определенные значения. Как мы увидим в дальнейшем, корни полинома могут иметь сопряженные комплексные значения, что приводит к невозможности реализации такого фильтра с помощью пассивных RC-цепей. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LRC-фильтры. Для высоких частот получение необходимых индуктивностей не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны большие индуктивности, которые сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристиками. Применения индуктивностей для фильтров в низкочастотном диапазоне можно избежать, используя RC-схемы с активными элементами (например, операционными усилителями). Такие схемы далее будем называть активными фильтрами.

Рассмотрим теперь различные способы задания оптимальных характеристик фильтров нижних частот, схемная реализация которых будет описана в следующих разделах.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при

Рис. 13.2. Амплитудно-частотные характеристики фильтров четвертого (а) и десятого (б) порядков. -фильтр с критическим затуханием; -фильтр Бесселя; фильтр Баттерворта; 4 фильтр Чебышева с неравномерностью

Рис. 13.3. Переходные характеристики фильтров нижних частот четвертого порядка при ступенчатом входном сигнале. I фильтр с критическим затуханием; -фильтр Бесселя; -фильтр Баттерворта; 4 фильтр Чебышева с неравномерностью -фильтр Чебышева с неравномерностью

ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются.

Характеристика фильтра Чебышева спадает более круто за частотой среза. В полосе пропускания она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует большая неравномерность в полосе пропускания. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном воздействии сильнее, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характеристикой. Причиной этого является пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала. В общем случае спад амплитудной характеристики фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.

На рис. 13.2 показаны амплитудно-частотные характеристики четырех рассмотренных фильтров нижних частот четвертого и десятого порядка. Можно заметить, что характеристика фильтра Чебышева имеет наиболее крутой спад для частот входного сигнала, превышающих частоту среза, но заметную неравномерность в полосе пропускания. При увеличении равномерности амплитудной характеристики фильтр Чебышева переходит в фильтр Баттерворта [13.1]. Переходные характеристики этих фильтров имеют большую амплитуду колебаний при ступенчатом входном сигнале. Это хорошо видно из рис. 13.3. Переходный процесс для фильтра Бесселя практически не имеет колебаний. Несмотря на менее удовлетворительные амплитудно-частотные характеристики фильтра Бесселя, он обеспечивает весьма высокое качество отработки ступенчатого входного сигнала. Пассивный RC-фильтр нижних частот не имеет перерегулирования, однако обладает значительно худшей амплитудно-частотной характеристикой по сравнению с фильтром Бесселя и несколько уступает ему в отношении качества отработки входного ступенчатого сигнала.

В табл. 13.1 приведены значения времени нарастания и задержки выходного сигнала, а также относительного перерегулирования для фильтров нижних частот различного типа. Время нарастания определяет интервал, за который выходной сигнал возрастает от 10 до 90% своего установившегося значения. Время задержки соответствует интервалу, в течение которого

(см. скан)

выходной сигнал достигает 50% установившегося значения.

Из таблицы следует, что время нарастания выходного сигнала мало зависит от порядка и типа фильтра и составляет приблизительно 1/3/9 (как отмечалось в разд. 2.1.3). Если учесть время задержки и относительное перерегулирование, то существенными преимуществамиперед другими обладает фильтр Бесселя. Увеличение порядка этого фильтра, начиная с четвертого, приводит к затуханию колебаний переходного процесса.

Ниже будет показано, что с помощью одной и той же схемы можно получить характеристики фильтра любого типа определенного порядка, изменяя лишь номиналы соответствующих резисторов и конденсаторов. Для того чтобы рассчитать схему конкретного фильтра, следует знать частотные характеристики каждого фильтра при заданном его порядке. Поэтому рассмотрим их в следующем разделе.