18.3.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Низкочастотные синусоидальные колебания могут быть также получены путем моделирования дифференциального уравнения синусоидальных колебаний с помощью операционных усилителей. Согласно изложенному в разд. 18.1.1, это уравнение имеет следующий вид:

Его решение записывается как

Поскольку на операционных усилителях операция интегрирования моделируется лучше, чем операция дифференцирования, преобразуем дифференциальное уравнение, дважды интегрируя его:

Полученное новое дифференциальное уравнение уже может быть промоделировано при помощи двух интегрирующих и одного инвертирующего усилителя. Существует множество вариантов практической реализации схемы, моделирующей такое уравнение. Один из таких вариантов, особенно подходящий для схемной реализации генератора, представлен на рис. 18.23. Затухание выгодного сигнала в такой цепи составляет а резонансная частота Согласно формуле (18.12), выходное напряжение такой схемы генератора описывается выражением

из которого видно, что величина затухания выходного напряжения определяется параметром а. Если движок потенциометра установить в крайнее правое по схеме положение, то Если его установить в крайнее левое положение, то что соответствует При среднем положении движка потенциометра

Таким образом, коэффициент затухания можно изменять в широких пределах как в положительной, так и в отрицательной области значений. При амплитуда выходного напряжения через 20 периодов колебаний возрастет в раз, а при уменьшится в раз. При схема будет генерировать незатухающие колебания. Это, однако, справедливо только для идеального случая. Практически же при амплитуда выходных колебаний будет медленно затухать, а для того, чтобы получить незатухающие колебания, величина должна иметь небольшое положительное значение. Схема такого генератора чувствительна к неточности установки величины а, поэтому амплитуда выходного сигнала не может достаточно долгое время оставаться постоянной. Чтобы достичь этого, требуется ввести в схему устройство автоматического регулирования амплитуды. Как и в схеме генератора Вина-Робинсона на рис. 18.22, амплитуда выходного сигнала измеряется с помощью выпрямительной схемы и величина а регулируется в зависимости от разности этой амплитуды и величины опорного напряжения. Как уже было показано, постоянная времени регулятора должна быть выбрана достаточно большой по сравнению с периодом генерируемых колебаний, чтобы не вызвать искажений выходного сигнала. Для частот ниже 10 Гц выполнить это условие достаточно сложно.

Трудность выполнения указанного условия состоит в том, что для измерения амплитуды колебаний необходимо время, равное по крайней мере периоду колебаний. Это не требуется, если иметь возможность определить амплитуду в любой момент времени. Такая возможность может быть реализована для схемы на рис. 18.23. В случае незатухающих колебаний выходное напряжение схемы определяется формулой

а

Амплитуду выходного напряжения можно определить в любой момент времени, если

Рис. 18.23. Моделирование дифференциального уравнения синусоидальных колебаний. Резонансная частота

воспользоваться соотношением

Очевидно, что выражение зависит от амплитуды выходного сигнала и не зависит от его фазы. Таким образом, получается только постоянное напряжение, которое можно, не фильтруя, сравнивать с опорным напряжением.

Устройство автоматического регулирования амплитуды выходного сигнала, работающее по описанному выше принципу, реализовано в схеме на рис. 18.24. При помощи векторного построителя, изображенного на рис. 11.50, из напряжений формируется напряжение, равное Пропорционально-интегрирующий регулятор на базе операционного усилителя сравнивает это напряжение с опорным напряжением Напряжение на его выходе устанавливается таким, что выполняется соотношение

Отсюда в соответствии с уравнением (18.14) следует

На выходе блока перемножения формируется напряжение Выход этого блока соединяется с резистором который в схеме на рис. 18.23 соединялся с движком потенциометра. При этом параметр а, характеризующий затухание системы, определяется как Если амплитуда выходного сигнала нарастает, то

При этом величина а зместе с ней и а будут отрицательными. Генерируемые

Рис. 18.24. Генератор синусоидальных колебаний с устройством прецизионного регулирования амплитуды по схеме, моделирующей дифференциальное уравнение синусоидальных колебаний. Амплитуда сигнала

Рис. 18.25. Блок-схема функционального генератора.

колебания станут затухать. Если амплитуда выходного сигнала уменьшается, напряжение станет положительным, а амплитуда колебаний будет нарастать.

Помимо удобства стабилизации амплитуды выходного напряжения метод моделирования дифференциального уравнения колебаний позволяет практически идеально осуществлять частотную модуляцию выходного напряжения. В традиционных LC-генераторах для этого необходимо варьировать величину или С. При этом изменяется энергия, запасаемая в реактивных элементах, а следовательно, и амплитуда генерируемых колебаний, т.е. возникают эффекты параметрического усиления сигнала. При генерации синусоидальных колебаний методом моделирования дифференциального уравнения резонансную частоту можно изменять путем вариации активного сопротивления двух резисторов не влияя при этом на запас энергии системы, накопленной в конденсаторах.

Так как каждый из этих резисторов подключен к виртуальному нулю, для модуляции частоты можно использовать блок умножения, подключаемый к этим резисторам. Их выходное напряжение составит

Рис. 18.26. Простой генератор треугольного и прямоугольного сигналов. Частота

Так как при этом величины сопротивлений как бы увеличиваются в раз, то резонансная частота составит

т.е. она пропорциональна управляющему напряжению.