13.6.2. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

В полосовых фильтрах второго порядка амплитудно-частотная характеристика тем острее, чем больше величина их добротности. Существуют, однако, случаи, когда в окрестности резонансной частоты необходимо получить возможно более плоскую характеристику с крутым спадом за полосой прозрачности. Такая задача оптимизации может быть решена путем преобразования фильтров нижних частот более высокого порядка в полосовые. При этом

предоставляется возможность кроме ширины полосы задать и желаемый вид частотной характеристики.

Особое значение имеет применение рассмотренного ранее преобразования к фильтрам нижних частот второго порядка. Оно приводит к описанию полосовых фильтров четвертого порядка, которые ниже будут рассмотрены более подробно. Подставив (13.21) в уравнение фильтра нижних частот второго порядка (13.17), получим следующую передаточную функцию четвертого порядка:

Отсюда видно, что амплитудно-частотная характеристика фильтра на нижних и верхних частотах стремится к асимптотам на октаву. На средней частоте коэффициент передачи фильтра имеет действительное значение

На рис. 13.24 приведены амплитудно- и фазово-частотные характеристики при нормированном значении для полосового фильтра Баттерворта и полосового фильтра Чебышева с неравномерностью характеристики, равной Для сравнения представлены частотные характеристики полосового фильтра второго порядка с такой же полосой пропускания.

Как и в случае фильтров нижних частот, для облегчения реализации разложим знаменатель передаточной функции (13.25) на множители. Из соображений симметрии выберем следующее упрощенное представление:

Перемножив сомножители в знаменателе и приравняв результат знаменателю передаточной функции (13.25), получим уравчение для определения параметра а:

Это уравнение в каждом конкретном случае может быть легко решено численно с помощью калькулятора. Определив параметр а, можно вычислить добротность полюсов звеньев фильтра

В зависимости от того, как будет разложен числитель передаточной функции полосового фильтра, мы получим два способа его реализации. Если представить числитель в виде произведения постоянного множителя и множителя, содержащего то это будет соответствовать последовательному соединению фильтра верхних частот и фильтра нижних частот. Такой способ реализации применяется в основном при достаточно широкой полосе пропускания фильтра

При узкополосном фильтре лучше применять последовательное соединение двух полосовых фильтров второго порядка, которые имеют небольшой сдвиг частотных характеристик. Такой способ называют «расстройкой контуров».

Для расчета полосового фильтра представим числитель выражения (13.26) в виде произведения двух сомножителей, содержащих Р:

Приравняв коэффициенты выражений (13.26) и (13.24), получим формулы для расчета параметров звеньев фильтра (табл. 13.8):

Таблица 13.8 (см. скан)

Здесь - средняя частота результирующего полосового фильтра, а коэффициент передачи на этой частоте. Значения параметров могут быть получены из соотношений (13.27) и (13.28).

Рассмотрим пример расчета одного звена фильтра. Пусть нужно рассчитать полосовой фильтр Баттерворта с частотой и шириной полосы 100 Гц. Коэффициент передачи на средней частоте должен быть равен 1. Сначала возьмем из табл. 13.6 коэффициенты для фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка: Для заданной нормированной полосы пропускания из уравнения (13.27) получим Из формулы (13.28) следует, что в этом случае Используя табл. 13.8, рассчитаем остальные параметры: и