22.3. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Желательно, чтобы цифровые фильтры имели описанную в гл. 13 оптимизированную передаточную функцию аналогового фильтра. Однако, как отмечалось в предыдущем разделе, это невозможно, поскольку цифровой фильтр в отличие от аналогового в диапазоне обладает периодической передаточной характеристикой. Однако используемая полоса частот ограничена соотношением поэтому поставленную задачу в дальнейшем можно видоизменить таким образом, чтобы частотная характеристика сохраняла желаемый вид лишь до значения и периодически не повторялась в области

Для этого можно модифицировать амплитудно-частотную характеристику аналогового фильтра посредством преобразования оси частот, подобно тому как это было сделано при преобразовании фильтра нижних частот в полосовой фильтр, а именно таким образом, чтобы область

Рис. 22.8. Амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра при

Рис. 22.9. Амплитудно-частотная характеристика в качестве примера характеристики фильтра Чебышева с неравномерностью 3 дБ. Нормированная частота выборки Линейное представление

отображалась в область и на высоких частотах периодически повторялась. Для этого введем

При , как и требуется, При имеем Искажение частотной оси, следовательно, тем меньше, чем больше тактовая частота , по сравнению с интересующим нас диапазоном частот.

Оптимизированная передаточная функция в гл. 13 всегда представляется через нормированную частоту Здесь -частота среза, или, точнее, резонансная частота фильтра. Для того чтобы это нормированное представление можно было использовать для вычислений, введем нормированную частоту выборки

Используя выражение (22.17), получаем

В качестве примера преобразования частотной оси на рис. 22.9 приведена амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот Чебышева 2-го порядка. Видно, что это типичная характеристика пропускания. Конечно, произошел сдвиг частоты среза. Чтобы исключить этот эффект, перед преобразованием нужно сместить кривую частотной характеристики в логарифмическом масштабе настолько, чтобы частоты среза после преобразования совпадали.

Из формулы (22.19) получаем

где

При этом при Преобразованная частотная характеристика представлена на рис. 22.10. При этом мы интерпретируем формально введенную частоту как новую переменную Q и обозначаем преобразованную частотную характеристику через Очевидно, что полученная характеристика подобна характеристике аналогового фильтра.

Благодаря вышеописанным операциям преобразованная частотная характеристика

Рис. 22.10. Согласование частот среза. В качестве примера приведена характеристика фильтра Чебышева с неравномерностью 3 дБ. Нормированная, частота выборки Логарифмическое представление.

имеет вид, позволяющий реализовать цифровой фильтр. Для расчета цифровой передаточной функции теперь необходимо уравнение преобразования комплексной частотной переменной Подстановка в формулу (22.20) дает

Учитывая, что получаем

Это соотношение называется билинейным преобразованием.

Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для аналоговой передаточной функции вместо нормированной комплексной частотной переменной подставляем переменную и получаем передаточную функцию которая может быть реализована в цифровом фильтре. Амплитудно-частотная характеристика имеет в этом случае вид, подобный характеристике аналогового фильтра. Характеристика сжимается по частоте Q таким образом, чтобы значение соответствовало частоте Появляющееся при этом ослабление тем меньше, чем больше по сравнению с представляющим интерес частотным диапазоном

Фазово-частотная характеристика, естественно, изменяется сильнее. Следовательно, положения, относящиеся к аналоговой технике, нельзя переносить в область цифровых устройств. По этой причине, например, неразумно аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику бесселевыми фильтрами, поскольку линейность фазы в этом случае нарушается. Такую задачу аппроксимации целесообразно решать непосредственно в -области [22.2]. При построении цифровых фильтров, как и для аналоговых фильтров, наиболее просто соединять блоки первого и второго порядка. Поэтому мы произведем пересчет коэффициентов фильтрации. Используя билинейное преобразование, из выражения для аналоговой передаточной функции

находим цифровую передаточную функцию

При этом для фильтра первого порядка получаем

Для фильтра второго порядка находим

Для модуля передаточной функции из формулы (22.24) с учетом (22.10) получаем соотношение

Рис. 22.11 Фильтрация непрерывного сигнала с помощью цифрового фильтра.

Сдвиг фазы составляет

Обе функции имеют период Если выражение для цифровой передаточной функции [формула (22.24)] вывести из аналоговой передаточной функции, то модуль и фазу, естественно, значительно проще получить из соотношения (22.23), изменив ось в соответствии с формулой (22.20), как уже было показано на рис. 22.10.