9.2. СОСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В цифровой технике задача, как правило, формулируется в форме таблицы переключений, которая называется также таблицей истинности. Прежде всего требуется найти такую логическую функцию, которая соответствовала бы этой таблице. На следующем этапе эту функцию преобразуют в простейшую форму, которую потом реализуют с помощью соответствующей комбинации базовых логических схем. Логические функции записывают, как правило, в дизъюнктивной нормальной форме. При этом поступают следующим образом:

1) В таблице истинности выделяют строки, в которых выходная переменная у имеет значение 1.

2) Для каждой такой строки составляют конъюнкцию всех входных переменных, причем записывают сомножитель если рассматриваемая переменная принимает значение 1, в противном случае записывают х Таким образом составляется столько произведений, сколько имеется строк с

3) Наконец, записывая логическую сумму всех найденных произведений, получают искомую функцию.

Рассмотрим этот способ на примере таблицы истинности 9.3. В строчках 3, 5 и 7 переменная Прежде всего следует составить конъюнкцию для этих строк.

Строка 3:

Строка 5:

Строка 7:

Искомая функция записывается в виде логической суммы произведений:

Таблица 9.3 (см. скан) Пример таблицы истинности

Эта запись является дизъюнктивной нормальной формой рассматриваемой логической функции. Для ее упрощения применим выражение (9.3а), после чего получим

Дальнейшее упрощение возможно, если учесть выражения (9.6 6) и (9.9 а):

Согласно формуле (9.3 б),

Еще раз применяя тождества (9.6 б) и (9.9 а), запишем простой конечный результат:

Если в таблице истинности в столбце выходной переменной у стоит больше единиц, чем нулей, требуется составить много произведений. В этом случае с целью упрощения вместо у рассматривают инвертированную выходную переменную у, Для этой переменной единиц уже имеется меньше, чем нулей. Затем для инвертированной переменной у вычисляют логическую функцию, в которую входит уже меньшее число произведений, после чего ее упрощают. Найденную таким образом функцию инвертируют, получая при этом искомое логическое выражение для Для этого заменяют операцию на и наоборот, а все переменные и константы (каждую в отдельности) инвертируют.