13.1.1. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА
Из формулы (13.3) следует, что модуль коэффициента передачи фильтра 
порядка может быть описан следующим выражением:
Нечетные степени в выражении (13.5) отсутствуют, поскольку 
является четной функцией. Для фильтра Баттерворта график функции 
должен быть по возможности горизонтальным при частотах входного сигнала, меньших частоты среза. Поскольку в этой области 
для выполнения такого требования необходимо, чтобы функция 
зависела только от старшей степени Q. Это связано с тем, что при 
младшие степени вносят большой вклад в знаменатель выражения (13.5) и, следовательно, приводят к существенному уменьшению коэффициента передачи фильтра. Итак, запишем
Коэффициент 
определяется из условия нормировки, которое связано с необходимостью обеспечения снижения коэффициента передачи фильтра на 
частоте 
т. е.
Отсюда следует, что 
Таким образом, выражение для квадрата коэффициента передачи низкочастотного фильтра Баттерворта 
порядка имеет следующий вид:
В это выражение входит только старшая степень 
в связи с этим фильтр Баттерворта нижних частот называют степенным фильтром нижних частот.
Для практической реализации фильтра Баттерворта необходимо разработать схему, квадрат коэффициента передачи которой удовлетворяет соотношению (13.6). Обычно при анализе электронных схем применяют не квадрат коэффициента передачи 
а непосредственно сам комплексный коэффициент А. Для того чтобы было легче рассчитывать схему фильтра, необходимо знать соответствующий выражению (13.6) комплексный коэффициент передачи. Для этого приравняем коэффициенты выражений (13.3) и (13.6). В результате найдем коэффициенты 
Полученный таким образом знаменатель выражения (13.3) является полиномом Баттерворта (табл. 13.2).
В работе [13.2] показано, что полюсы передаточной функции фильтра Баттерворта могут быть получены в замкнутой форме. Объединяя комплексно-сопряженные полюсы, можно записать аналитические выражения для коэффициентов 
в передаточной функции (13.4):
Таблица 13.2 (см. скан)
для четных 
для нечетных 
Коэффициенты Баттерворта для полиномов до 10 порадка приведены в табл. 13.6.
Известно, что фильтр Баттерворта первого порадка представляет собой пассивный фильтр нижних частот с передаточной функцией (13.1). Корни полиномов Баттерворта более высокого порядка являются комплексно-сопряженными. В связи с этим они не могут быть реализованы с помощью пассивных RC-цепей, соответствующих действительным значениям корней знаменателя передаточной функции. Поэтому для построения фильтров Баттерворта следует применять пассивные LRC-схемы или активные RC-цепи. Частотные зависимости коэффициентов передачи фильтров Баттерворта для различных значений 
приведены на рис. 13.4.
