13.1.2. ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА

Коэффициент передачи фильтра Чебышева для низких частот равен однако в области частот, меньших частоты среза, его амплитудно-частотная характеристика имеет волнообразный характер, причем амплитуда этих колебаний определяется параметрами фильтра. Полиномы, обладающие таким свойством, называются полиномами Чебышева:

коэффициенты которых указаны в табл. 13.3.

Таблица 13.3 (см. скан)

В области функция колеблется между и 1, а при монотонно возрастает. Выражение для

Рис. 13.4. Частотные характеристики коэффициентов передачи фильтров Баттерворта.

фильтра нижних частот на основе полиномов Чебышева имеет следующий вид:

Постоянный коэффициент к выбирается так, чтобы при выполнялось условие Отсюда следует, что для полиномов нечетного порядка и для четных Множитель определяет степень неравномерности характеристики фильтра:

Отсюда

и

В табл. 13.4 приведены параметры фильтра Чебышева для различной степени неравномерности.

Таблица 13.4 (см. скан)

В принципе, задав значение коэффициента передачи, можно получить выражение для комплексного коэффициента передачи и из него найти коэффициенты факторизованной формы. Однако удобнее вычислять полюсы передаточной функции фильтра непосредственно [13.3], используя выражения для коэффициентов фильтра Баттерворта. Объединяя комплексно-сопряженные полюсы передаточной функции, запишем для коэффициентов следующие выражения:

для четных значений и

для нечетных

В приведенных выражениях

Подставив в выражение (13.4) коэффициенты вместо получим передаточную функцию фильтра Чебышева нижних частот, в которой нормировано не относительно частоты (соответствующей снижению коэффициента передачи на 3 дБ), а относительно частоты при которой коэффициент передачи фильтра в последний раз принимает значение

Для того чтобы было удобнее сравнивать характеристики фильтров различного типа, следует нормировать относительно частоты Для этого заменим на и выберем постоянную нормирования а так, чтобы. коэффициент передачи для имел значение Тогда квадратный трехчлен в знаменателе примет вид

Из сопоставления полученного выражения с (13.4) следует, что

Коэффициенты передаточных функций фильтров до 10-го порядка для значений неравномерности амплитудно-частотных характеристик, равных приведены в табл. 13.6.

Рис. 13.5. Амплитудно-частотные характеристики коэффициентов передачи фильтров Чебышева. -неравномерность -неравномерность

Рис. 13.6. Амплитудно-ча-стотные характеристики фильтров Чебышева четвертого порядка. Неравномерность: кривая кривая кривая кривая -фильтр Баттерворта четвертого порядка (для сравнения)

Амплитудно-частотные характеристики коэффициента передачи для значений неравномерности приведены на рис. 13.5. На рис. 13.6 для сравнения представлены амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева четвертого порядка для различных значений неравномерности. Можно заметить, что характеристики в области очень мало отличаются. Для фильтров более высокого порядка они будут отличаться еще меньше. По сравнению с приведенной на том же рисунке амплитудно-частотной характеристикой фильтра Баттерворта амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева с неравномерностью имеет более крутой спад.

Переход от полосы прозрачности к полосе заграждения фильтра нижних частот может быть сделан еще более резким. Кроме того, можно так выбрать параметры

схемы, чтобы и в области заграждения фильтра нижних частот получить заданную неравномерность амплитудно-частотной характеристики. Такие фильтры называются фильтрами Кауэра. Передаточная функция фильтра Кауэра отличается от передаточных функций рассмотренных ранее фильтров тем, что ее числитель вместо постоянного коэффициента содержит полином. Эти фильтры не могут быть реализованы с помощью достаточно простых схем, которые приведены ниже в разд. 13.4. В разд. 13.11 рассмотрена схема универсального фильтра, с помощью которого представляется возможным образовать произвольные полиномы числителя передаточной функции фильтра. Коэффициенты полиномов Кауэра содержатся в работе [13.4].