2. Пассивные RC- и LRC- цепи

RС-цепи в схемотехнике имеют большое значение. Они применяются весьма часто, поэтому опишем подробно их функции.

2.1. ФИЛЬТР НИЖНИХ ЧАСТОТ

Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 2.1 изображена схема простого RC-фильтра нижних частот.

Рис. 2.1. Простой фильтр нижних частот.

2.1.1. ОПИСАНИЕ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Для расчета частотной характеристики схемы применим формулу отношения напряжений, представленных в комплексной форме:

Отсюда, учитывая, что получим

Обе зависимости представлены на рис. 2.2

Положив

получим выражение для частоты среза

Фазовый сдвиг на этой частоте, согласно формуле (2.2), составляет

Рис. 2.2. Диаграмма Боде для фильтра нижних частот.

Как видно из рис. 2.2, амплитудно-частотную характеристику наиболее просто составить из двух асимптот:

1) на нижних частотах

2) На высоких частотах согласно формуле (2.2), т.е. коэффициент усиления обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на на декаду или на на октаву.

2.1.2. ОПИСАНИЕ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Для анализа схемы во временной области подадим на вход этой схемы импульс напряжения (рис. 23). Чтобы рассчитать выходное напряжение, применим правило узлов к ненагруженному выходу. Тогда для схемы, изображенной на рис. 2.1, запишем

С учетом получим

Рис. 2.3. Реакция фильтра нижних частот на скачок напряжения.

дифференциальное уравнение

Оно имеет следующее решение:

Известно, что к установившимся значениям кривые будут приближаться асимптотически. Поэтому в качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на часть величины скачка напряжения на входе. Из формулы (2.5) видно, что постоянная времени равна

Время установления выходного напряжения приближенно также можно найти из формулы (25). В табл. 2.1 приведены значения времени установления выходного напряжения.

Таблица 2.1 (см. скан) Значения времени установления фильтра нижних частот

Если в качестве входного сигнала приложено напряжение прямоугольной формы с периодом то экспоненциальная функция прерывается через каждую половину периода.

Рис. 2.4. Импульсный режим работы фильтра нижних частот при различных частотах.

Верхняя кривая средняя кривая нижняя кривая

Какое значение при этом будет достигнуто, зависит от соотношения (См. осциллограмму, приведенную на рис. 2.4.)

Фильтр нижних частот как интегрирующее звено

В предыдущем разделе показано, что при частотах сигнала выходное переменное напряжение мало по сравнению с входным. В этом случае из дифференциального уравнения (2.4) в предположении, что следует, что т.е.

Фильтр нижних частот как детектор среднего значения

Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую, сделанное выше предположение справедливо. Постоянная составляющая, полученная путем разложения в ряд Фурье, равна среднему значению

где период колебаний входного напряжения. Суммируя все остальные члены ряда Фурье, находим некоторое напряжение которое по форме совпадает с входным, но сдвинуто так, что среднее значение равно нулю. Следовательно, входное напряжение можно представить в виде

Напряжение при интегрируется, а постоянная составляющая передается линейно. Таким образом, выходное напряжение

Если постоянная времени достаточно велика, то пульсация пренебрежимо мала и