22.2. ЦИФРОВАЯ ФУНКЦИЯ ПЕРЕДАЧИ ФИЛЬТРА

В гл. 13 мы видели, что аналоговые фильтры реализуются на основе интеграторов, сумматоров и элементов, задающих значения масштабных коэффициентов. Переход к цифровым фильтрам производится путем замены интегратора элементом задержки. Такой элемент задержки можно построить, например, на основе регистра сдвига, в котором выбранное значение входной функции сдвигается с частотой выборки . В простейшем случае задержка осуществляется на один временной интервал Т. Пример такого

Рис. 22.5. Преобразование спектра последовательности Дирака в спектр ступенчатой функции с помощью весовой функции

Рис. 22.6. Пример цифрового фильтра первого порядка.

цифрового фильтра первого порядка представлен на рис. 22.6. Рассмотрим его режим работы во временной области.

22.2.1. ОПИСАНИЕ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Пусть задана временная последовательность которая служит в качестве входного сигнала для устройства, показанного на рис. 22.6. Найдем соответствующую выходную последовательность . В момент времени на входе памяти находится числовое значение Со сдвигом на один такт оно появляется на выходе устройства памяти. При этом для выходной последовательности имеем соотношение

Это дифференциальное уравнение подобно дифференциальному уравнению для аналоговой системы. Задавая начальное значение его можно использовать в качестве рекуррентной формулы для вычисления выходной последовательности. В качестве примера выберем и найдем переходную характеристику для Она приведена на рис. 22.7. Понятно, что схема является фильтром нижних частот.

Рис. 22.7. Переходная характеристика цифрового фильтра, показанного на рис. 22.6, для при переходе входного сигнала из в 1.

22.2.2. ОПИСАНИЕ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Для исследования частотной характеристики подадим на вход синусоидальную последовательность Если система линейна, на выходе также возникнет синусоида. Отношение амплитуд, как и в аналоговых фильтрах, равно значению передаточной функции Линейность цифрового фильтра следует из линейности дифференциального уравнения. Таким образом, согласно формуле (22.8), фильтр на рис. 22.6 линеен.

Передаточная функция может быть получена. как и в случае аналогового фильтра, расчетом с использованием комплексных переменных. Найдем частотную характеристику элемента задержки. Для гармонического входного сигнала

получается гармонический выходной сигнал

и с учетом передаточная функция имеет вид

Эта функция периодическая с периодом Здесь тактовая частота. Введем обозначение

и получим из формулы (22.9) передаточную функцию в виде

В гл. 13 уже отмечалось, что передаточная функция связывающая выходной и входной сигналы, имеющие произвольную зависимость от времени, с помощью преобразования Лапласа может быть представлена в виде

Это соотношение справедливо и для цифровых систем. Для числовых последовательностей его можно упростить с помощью преобразования передаточной функции (22.11):

Здесь

есть - преобразование входной последовательности. Выходная последовательность получается с помощью соответствующего обратного преобразования [22.2]. Функция называется цифровой передаточной функцией.

Теперь, используя выражение (22.11), можно непосредственно определить передаточную функцию цифрового фильтра, показанного на рис. 22.6. Из соотношения

получаем

Для определения частотной характеристики подставим в формулу в результате получим

Функция является периодической с периодом Это свойство - общее для всех цифровых фильтров. Для модуля частотной характеристики имеем

График этой функции приведен на рис. 22.8. Видно, что эта амплитудно-частотная характеристика в области

т.е. имеет вид характеристики фильтра нижних частот, как мы и ожидали, исходя из переходной характеристики на рис. 22.7.

На основании теоремы о дискретизации для дискретной системы задержки, работающей на частоте частота синусоидальной последовательности выбирается не больше чем В области частот амплитудно-частотная характеристика устройства уже не имеет вида, присущего фильтру. Если все же желательно использовать такое устройство, необходимо заменить цифровой элемент задержки аналоговым элементом задержки (например, линией задержки или фазовым фильтром).