11.6. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие задачи описываются простыми дифференциальными уравнениями. Решение таких задач можно провести, реализуя исходное дифференциальное уравнение с помощью описанных аналоговых схем

и измеряя установившееся выходное напряжение. Чтобы не возникало проблемы устойчивости, следует так преобразовать исходное дифференциальное уравнение, чтобы можно было вместо дифференциаторов применять только интеграторы.

Поясним предлагаемый метод на примере следующего линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Первый шаг состоит в замене независимой переменной х на время t:

На основании правил дифференциального исчисления запишем

После подстановки производных в исходное уравнение (11.15) получим

Далее разрешим уравнение относительно производных:

Следующий шаг состоит в умножении обеих частей уравнения на и интегрировании

Стоящее слева от знака равенства выражение можно реализовать с помощью простого суммирующего интегратора. Его выходное напряжение является переменной состояния где порядок дифференциального уравнения, в данном случае равный двум. Таким образом,

Будем пока считать, что выходная величина у известна.

Из формул (11.18) и (11.17) следует, что

Это дифференциальное уравнение можно решить аналогично уравнению (11.16). При этом получим

Левая часть этого уравнения является переменной состояния

Это выражение можно реализовать с помощью второго суммирующего интегратора. Подстановка выражения (11.21) в (11.20) дает уравнение для выходного сигнала:

Поскольку здесь нет производных, преобразования закончены.

Рис. 11.17. Граф для решения дифференциального уравнения

Рис. 11.18. Аналоговая схема решения дифференциального уравнения.

Необходимые для решения дифференциального уравнения вычислительные операции [формулы (11.18), (11.21) и (11.22)] можно наглядно представить в виде графа (рис. 11.17). Соответствующая этому графу аналоговая схема показана на рис. 11.18. Для того чтобы исключить из схемы дополнительный инвертирующий усилитель, предназначенный для получения выражения — к, у в формуле (11.21), было учтено, что из (11.22).