13.1.3. ФИЛЬТРЫ БЕССЕЛЯ
Фильтры Батгерворта и Чебышева характеризуются большими колебаниями переходных процессов. Идеальными в отношении обработки ступенчатого входного сигнала являются фильтры с частотно-независимым групповым временем задержки, т.е. с фазовым сдвигом, пропорциональным частоте. Этим свойством обладают фильтры Бесселя, иногда называемые фильтрами Томсона. Параметры фильтра рассчитываются гак, чтобы групповое время задержки в области частот, превышающих 
как можно меньше зависело от частоты Q. Для этого используют аппроксимацию Баттерворта для группового времени задержки.
Из формулы (13.4) следует, что коэффициент передачи фильтра нижних частот второго порядка для 
может быть представлен следующим образом: 
Отсюда видно, что фазовый сдвиг в зависимости от частоты входного сигнала равен
Групповое время задержки определяется как
Для упрощения дальнейших выкладок введем нормированное групповое время задержки:
где 
обратная величина частоты среза фильтра. Запишем теперь
и, учитывая формулу (13.8), получим
Для того чтобы аппроксимировать групповое время задержки в смысле Баттерворта, воспользуемся тем, что для 
справедливо следующее соотношение:
Это выражение не будет зависеть от 
если коэффициенты при 
в числителе и знаменателе совпадают. Для этого должно удовлетворяться следующее соотношение:
или
Второе соотношение может быть выведено из условия нормировки 
Для частоты 
Отсюда с учетом (13.10) получим
Вычисление коэффициентов для полиномов более высокого порядка представляет достаточно трудоемкую задачу, связанную с решением систем нелинейных уравнений.
Однако можно аналитически вычислить коэффициенты 
полинома знаменателя передаточной функции (13.3) с использованием рекуррентных соотношений [13.5]:
Полученные коэффициенты определяют полиномы Бесселя, вид которых до четвертого порядка показан в табл. 13.5 При этом следует иметь в виду, что здесь 
нормировано не относительно частоты среза, соответствующей уменьшению коэффициента передачи фильтра на 3 дБ, а относительно обратной величины группового времени задержки при 
Такой способ нормировки, однако, малопригоден.
Таблица 13.5 (см. скан)
Поэтому был произведен пересчет коэффициентов 
и выполнено разложение полинома знаменателя на сомножители второго порядка. Полученные в результате коэффициенты 
соответствующие знаменателю передаточной функции (13.4) для фильтров до десятого порядка, приведены в табл. 13.6. Амплитудно-частотные
Таблица 13.6 (см. скан) Коэффициенты фильтров различною типа
(кликните для просмотра скана)
характеристики коэффициента передачи фильтров Бесселя изображены на рис. 13.7.
Для иллюстрации фазовых искажений рассмотренных фильтров по сравнению с фильтром Бесселя на рис. 13 8 приведены фазово-частотные характеристики и графики зависимости от частоты группового времени задержки для различных фильтров четвертого порядка. Для их построения наиболее удобно воспользоваться передаточной функцией (13.4), разложенной на множители, и просуммировать фазовые сдвиги и групповое время задержки отдельных звеньев второго порядка. При этом с учетом соотношений (13.8) и (13.9в) получим
