3. Теорема Дарбу.

Определение. Будем говорить, что функция имеет производную на сегменте если имеет конечную изводную в каждой внутренней точке и, кроме имеет конечные односторонние производные

Очевидно, функция, имеющая производную на сегменте, будет непрерывной на этом сегменте.

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 7.12 (теорема Дарбу). Пусть функция имеет производную на сегменте . Тогда, каково бы ни было число С, заключенное между на этом сегменте найдется точка такая, что

Итак, производная при одном только условии существования на сегменте принимает любое промежуточное значение.

Доказательство. Сначала докажем следующее утверждение: если имеет конечную производную на и если — числа разных знаков, то на сегменте найдется точка такая, что

Пусть ради определенности Тогда, функция имеет краевой максимум на обоих концах сегмента Но это означает, что минимальное значение на сегменте достигается в некоторой внутренней точке этого сегмента (функция имеет производную, а и непрерывна на сегменте и поэтому достигает на этом сегменте своего минимального значения). В указанной точке функция имеет локальный минимум, и поэтому

Для доказательства теоремы 7.12 остается положить и применить к только что доказанное утверждение.

Заметим, что непрерывность производной мы не предполагали.

Из теоремы Дарбу сразу же следует доказанное в п. 3 § 4 гл. 6 утверждение об отсутствии у прозводной точек разрыва первого рода.