Глава 11. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Теория, мой друг, суха,

Но зеленеет жизни древо.

Гете

Введение

Мы разбили множество функций на три класса: 1) случайные стационарные функции (имеется в виду стационарность 2-го порядка, которые не содержат периодичностей и моменты 1-го и 2-го порядка которых не зависят от начала отсчета времени;

2) периодические функции; 3) переходные функции, которые не содержат периодичностей и для которых выбор начала отсчета времени имеет существенное значение.

11.1. Центрированные случайные стационарные функции, обладающие свойством эргодичности

Определение.

Автокорреляционной функцией называется функция

Ниже мы будем рассматривать центрированные сигналы, т. е. сигналы с нулевым средним значением. Напомним (разд. 8.11), что в случае центрированных сигналов к корреляционной функции центрированного сигнала следует добавить произведение средних значений, а к спектральной плотности — произведение где — импульсная функция Дирака.

Были определены также спектральная плотность (мощности)

взаимная корреляционная функция

и взаимная спектральная плотность (мощности)

Ниже, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные временные функции, т. е. такие, которым соответствуют вещественные корреляционные функции.

Свойства автокорреляционной функции.

Автокорреляционные функции обладают рядом свойств, которые мы приведем без доказательства.

1. Четность:

Из этого свойства следует, что достаточно определить автокорреляционную функцию только для положительных (или отрицательных) значений а затем можно продолжить эту функцию четным образом на отрицательные (положительные) значения . Из четности автокорреляционной функции вытекает, что ее фурье-образ содержит только косинусоидальные члены преобразования:

2. Автокорреляционная функция имеет максимум при Если то

Отметим, что величина

представляет собой среднее значение квадрата, или дисперсию, или квадрат эффективного значения, или среднюю мощность функции

3. При неограниченном росте автокорреляционная функция случайного центрированного сигнала стремится к нулю

Следовательно, для любого положительного существует такое положительное что при условии выполняется неравенство

Свойства спектральной плотности.

Поскольку — вещественная четная функция, то спектральная плотность также является вещественной четной функцией. Поэтому

Это фундаментальное соотношение позволяет переходить от спектральной плотности мощности к автокорреляционной функции и наоборот. Важное приложение соотношения (11.8) рассмотрено в гл. 13, в которой мы покажем, что целесообразнее всего определять спектральную плотность по автокорреляционной функции.

Если сигнал не содержит постоянной компоненты, т. е. то из выражения (11.8) следует,что . Наиболее часто центрирование сигнала достигается высокочастотной фильтрацией. В этом случае, как показано в разд. 8.11, отсекается постоянная составляющая, и, следовательно, алгебраическая площадь, ограниченная графиком автокорреляционной функции центрированного сигнала, равна нулю. Этот результат имеет важное практическое значение.

Взаимная корреляция двух случайных функций.

Применяя корреляционный оператор к двум различным случайным функциям, получим взаимную корреляционную функцию

Очевидно, что паре функций соответствуют две корреляционные функции. Вторая взаимная корреляционная функция определяется аналогично:

Приведем без доказательства некоторые свойства взаимных корреляционных функций.

Если заменить на то

В общем случае взаимные корреляционные функции не обладают свойством четности или нечетности и не имеют максимума

при Взаимные корреляционные функции двух случайных центрированных функций стремятся к нулю при

Кроме того, для любых значений справедливо неравенство

Если две случайные функции независимы, то при любом времени корреляции соответствующие взаимные корреляционные функции тождественно равны нулю. Обратное утверждение неверно.

Взаимный спектр. Взаимная спектральная плотность.

По аналогии со спектральной плотностью мощности фурье-образ взаимной корреляционной функции называют взаимной спектральной плотностью мощности, или взаимным спектром:

В общем случае — комплексная функция, так что

Произведение определяет мощность взаимодействия в полосе частот , как мы видели, тесно связано с обменной информацией между случайными величинами в этой полосе. Очевидно, что если -вещественная функция, то обладает эрмитовой симметрией.

Белый шум.

На практике широкое применение находит случайный процесс, называемый белым шумом, спектральная плотность мощности которого постоянна по всему диапазону частот. Мощность белого шума не зависит от частоты, и его автокорреляционной функцией будет -функция Дирака. Реально белый шум не существует; но если спектральная плотность шума постоянна внутри полосы, пропускаемой системой, то такой шум можно считать белым (рис. 11.1). Это условие всегда

выполнимо, так как не существует систем с бесконечной полосой пропускания. Автокорреляционная функция такого шума отличается от -функции: ее графиком будет очень узкая кривая, ширина которой мала по сравнению с временем корреляции (рис. 11.2).

Рис. 11.1.

Рис. 11.2.

Примечание. Спектр рассмотренного шума ограничен со стороны высоких частот, поэтому подобный шум не совсем «белый» и его часто называют «розовым» шумом. Эта терминология заимствована из оптики. Известно, что белый свет содержит все цвета. Если отфильтровать длинноволновую часть спектра, т. е. наиболее высокие частоты, то свет теряет голубые тона и приобретает розовую окраску. Аналогично говорят, что шум окрашен, если он не белый, т. е. соответствующая спектральная плотность мощности не постоянна.

Гауссов шум.

Плотность вероятности этого шума определяется выражением

где — дисперсия шума, — его среднее значение.

Гауссовы процессы обладают характерным свойством: любой такой процесс полностью определяется своими статистическими характеристиками 1-го и 2-го порядка. То есть можно вычислить все моменты, зная лишь моменты 1-го и 2-го порядка. Этим объясняется выбор гауссовых процессов в качестве

гипотезы при расчетах, содержащих погрешности оценок и требующих вычисления моментов более высоких порядков (разд. 8.10). Кроме того, согласно центральной предельной теореме, сумма произвольных случайных процессов стремится к гауссову процессу при возрастании числа слагаемых. Сходимость оказывается настолько быстрой, что если число слагаемых больше 5 или 6, то результирующий процесс очень близок к гауссову.

Рис. 11.3.

Пуассоновский шум.

В ядерной физике часто встречается шум другого типа, порожденный импульсами, распределенными по закону Пуассона. Вероятность появления импульсов в интервале равна

где — параметр закона Пуассона, или средняя частота.

Из рис. 11.31 видно, что автокорреляционные функции последовательностей импульсов, распределенных по закону Пуассона и имеющих либо постоянный знак (положительный или отрицательный), либо случайный знак, по существу не

отличаются одна от другой; если же знак импульсов чередуется, то вид корреляционной функции существенно иной. Наличие распределения импульсов с чередующимся знаком увеличивает «память» вероятностного процесса, так как знак последующего импульса определяется знаком предыдущего; именно это приводит к «уширению» графика автокорреляционной функции.