19. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

В основном эта глава посвящена обсуждению свойств теории: Янга—Миллса, описывающей изотопический триплет безмассовых: векторных полей, взаимодействующих с сохраняющимся током. Прежде чем приступить к описанию теории Янга—Миллса, сделаем некоторые замечания о классификации симметрий и рассмотрим несколько теорий, более простых, чем теория Янга — Миллса. Все симметрии можно разделить на две большие группы: глобальные симметрии и локальные симметрии.

Глобальная абелева симметрия U(1)

Простейшим примером глобальной симметрии является сохранение заряда, выражающееся в виде инвариантности лагранжиана относительно преобразования типа

где — заряд частицы, описываемой полем произвольное число, не зависящее от пространственно-временных координат частицы. В роли заряда могут выступать не только электрический заряд но и другие заряды (барионный В, лептониый и т. п.). Группа таких фазовых преобразований называется

Различные преобразования группы коммутируют между собой. Такую группу называют абелевой. Если параметр а независит от то группу называют глобальной. Итак, мы рассмотрели глобальную абелеву симметрию

Глобальная неабелева симметрия SU(2)

Другим примером глобальной симметрии является обычнаж изотопическая инвариантность. При изотопическом преобразовании.

где Т — матрицы, параметры, как и в предыдущем случае, не зависящие от координат. Значение а — одно и то же и в Москве, и в Нью-Йорке, и на Луне. Именно поэтому симметрия называется глобальной. В случае простейшего нетривиального

изотопического мультиплета — дублета

где — три матрицы Паули:

Поскольку матрицы не коммутируют между собой, симметрия называется неабелевой.

Локальная абелева симметрия U(1)

Рассмотрим теперь лагранжиан квантовой электродинамики, описывающей электроны, фотоны и их взаимодействия:

Здесь - заряд электрона, Если ввести так называемую ковариантную, или обобщенную (или в просторечии — длинную), производную

то лагранжиан примет вид

Легко убедиться, что этот лагранжиан инвариантен относительно лреобразования

тде - параметр, зависящий от мировой точки При этом

Напряженность поля

инвариантна относительно этого преобразования. Следует подчеркнуть, что если бы у фотона была масса, то локальная -инвариантность нарушилась бы, так как член не переходит сам в себя при добавлении к А слагаемого .

Мы видим, что для локальной инвариантности необходимо, чтобы сохраняющийся заряд являлся источником безмассового векторного поля. В этом пункте имеется радикальное отличие электрического заряда, генерирующего фотоны, от барионного, лептонного, мюоиного зарядов, с которыми, насколько можно судить, не связаны специфические безмассовые векторные поля:

барионные, лептонные или мюонные «фотоны». Поэтому этим зарядам отвечают глобальные, но не локальные (-симметрии.

При калибровочных преобразованиях физические (наблюдаемые) поперечные компоненты фотонного поля не преобразуются (импульс фотона направлен по оси а преобразуются лишь нефизические продольные компоненты фотонного 4-вектора: Сохранение векторного тока обеспечивает ненаблюдаемость этих компонент.

Чисто формально локальную инвариантность можно было бы обеспечить нефизическим (без продольным полем, не вводя наблюдаемых векторных полей и не интерпретируя продольное поле как нефизическую часть векторного поля. Мы, однако, в соответствии с принятой в литературе терминологией будем называть локальной такую теорию, в которой есть безмассовое векторное калибровочное поле.

Отступление о барионных и лептонных фотонах

Выше мы сделали замечание о том, что барионные фотоны не существуют. Поясним это утверждение.

Легко показать, что если барионные фотоны существуют, то их взаимодействие с барионами должно быть очень слабым: (это следует сравнивать с для обычных фотонов). Такое ограничение вытекает из равенства инертной и гравитационной масс, проверенного с точностью до . Указанное ограничение на следует из того, что барионные фотоны создали бы вокруг Земли своеобразное «кулоново» поле, которое, отталкивало бы барионы от Земли. Сила этого отталкивания была бы пропорциональна числу барионов в образце, а не его массе, и была бы различна, скажем, для свинцового и медного образцов с одинаковыми массами. Сила, действующая на образец с массой содержащий А; нуклонов, равна

где М — масса Земли, А — число нуклонов в Земле — гравитационная константа.

Аналогичная формула описывала бы в этом случае и притяжение тел к Солнцу. Это очевидное замечание сделано потому, что притяжение тел к Солнцу измерено с более высокой точностью, чем к Земле.

Масса нуклона в ядре свинца примерно на 1 МэВ больше, чем в ядре меди

Из опыта следует, что

откуда

Аналогичное рассуждение можно провести и для - константы взаимодействия гипотетических лептонных «фотонов» с электронами. В этом случае

и, следовательно,

Из-за нестабильнссти мюона верхний предел для — кон станты взаимодействия гипотетических мюонных «фотонов» с онным зарядом на порядков хуже (выше), чем для

Основываясь на приведенных выше оценках, естественно заключить, что безмассовых векторных частиц, связанных с лептонным и барионным зарядами, нет. Возможно, что с этими зарядами связаны массивные векторные частицы.

В 80-х годах широко сбсуждалась возможность того, что барионные и/или лептонные фотоиы не безмассовы, но очень легки, так что их комптонсвская длина волны составляет величину, скажем, порядка километра. В этом случае ограничения на и/или на не столь жесткие, как обсуждалось выше. Некоторые авторы сообщали о наблюдении ими в опытах типа опыта Этвеша так называемой пятой силы с подобным радиусом действия. Последующие опыты не подтвердили этих первых сообщений. Но на более высоком уровне точности экспериментальные поиски пятой силы продолжаются.

Локальная SU(2)-симметрия

Обратимся теперь к теории Янга—Миллса, которая представляет собой локальную реализацию изотопической инвариантности.

В этой теории имеет место инвариантность относительно локальных изотопических поворотов:

Здесь — три матрицы изотопических поворотов, три параметра этих поворотов, вообще говоря, различные в различных мировых точках. Для реализации такой симметрии необходимо существование триплета векторных безмассовых полей 4, взаимодействующих с полями

Лагранжиан имеет вид

где - ковариантная производная. В отличие от абелева случая представляет собой матрицу

Конкретный вид матрицы Т и, следовательно, определяется тем, по какому представлению группы преобразуется поле, от которого берется длинная производная; если поле -изодублет, то

если поле —изотриплет, то

Изовектор напряженности поля имеет вид

(Обычно в качестве матриц Т в этом случае выбирают Из этого выражения (оно будет пояснено ниже) мы видим, что, в отличие от абелева случая, напряженность неабелева калибровочного поля есть нелинейная функция поля. (В абелевом случае коммутатор равен нулю.) В результате лагранжиан свободного поля Янга—Миллса, наряду с членами содержит . В отличие от обычных фотонов, янг-миллсовские фотоны несут изовекторные «заряды» и сами себя излучают. Это как бы «светящийся свет». Аналогичным свойством обладают гравитоны—кванты гравитационного поля.

Хорошо известно, что источником гравитонов является тензор энергии-импульса. Поэтому даже безмассовые частицы, например, фотоны, взаимодействуют с гравитационным полем, и тем сильнее, чем выше их энергия.

Рис. 19.1

Вершина взаимодействия фотона с гравитоном изображена на рис. 19.1, а. Поскольку гравитон сам имеет энергию и импульс, он также должен испускать гравитоны (рис. 19.1,6). Для обычного абелевого фотона подобной тройной вершины нет, а для неабелевого — вершина отлична

от нуля. Эта вершина описывает рассеяние -«фотонов» на поле аннигиляцию и другие процессы, связанные с указанными кроссингом. Напомним, что вершина именно такого типа понадобилась нам для того, чтобы сделать слабый ток сохраняющимся в высоких порядках теории возмущений (см. гл. 18).

Как преобразуются Чтобы установить, каким образом преобразуется поле рассмотрим, например, выражение Пусть Как должно выглядеть , чтобы выражение было калибровочно инвариантным, т. е. чтобы при калибровочном преобразовании

Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы

Напомним, что в абелевом случае

Так что отличие неабелева поля заключается в том, что оно сна чала изотопически поворачивается и только потом удлиняется на член — . В случае, когда калибровочная матрица близка к единичной, т. е. когда угол поворота а мал, наглядным является выражение для преобразования поля не в матричной форме, использованной выше, а в обычной изовекторной форме. В этом случае их

(Мы воспользовались тем, что

а также тем, что при малых )

Что касается напряженности поля , то из определения

сразу же следует, что

Таким образом, преобразуется, как обычный изовектор. В частности, при малых а:

Напряженность Оустроена таким хитрым способом, что она одинаково преобразуется как при глобальных, так и при локальных изотопических поворотах. Следствием этого является калибровочная инвариантность члена в лагранжиане.

Похвальное слово теории Янга—Миллса

Мы привыкли к тому, что симметрии налагают определенные ограничения на массы частиц и на константы, характеризующие их взаимодействия. Например, изотопическая инвариантность сильного взаимодействия требует, чтобы массы протона и нейтрона были равны, а их взаимодействие с -мезонами характеризовалось одной и той же константой. Замечательным свойством неабелевой калибровочной симметрии является то, что она не только накладывает ограничения на массы частиц и константы связи, но и определяет динамику взаимодействия калибровочных полей (нелинейности типа Калибровочные неабелевы поля являются носителями «изотопического заряда», и их взаимодействия друг с другом и с другими полями определяются этим зарядом. Калибровочная симметрия однозначно задает вид этих взаимодействий.

В этом смысле теория Янга—Миллса очень похожа на общую теорию относительности, в которой динамика гравитационного взаимодействия в значительной степени определяется требованием инвариантности относительно наиболее общих преобразований координат. Так что аналогия между нелинейными взаимодействиями неабелевых фотонов и гравитонов, отмеченная выше, является лишь одним из частных проявлений глубокого сходства этих теорий. Теория Янга—Миллса является достаточно простой моделью, на которой можно попытаться понять некоторые особенности квантования такой существенно нелинейной теории, как общая теория относительности. Задача построения квантовой теории гравитации привлекает к себе все большее внимание.

В 60-е годы теория Янга—Миллса была подвергнута тщательному теоретическому анализу. Для нее были сформулированы правила построения фейнмановских графиков и была доказана перенормируемость. Перенормируемость теории Янга—Миллса является следствием безразмерности константы сохранения изотопических токов и безмассовости неабелевых «фотонов».

Поля Янга—Миллса из теоретического курьеза (каковыми они казались при своем рождении) превратились сегодня в центральный. объект теоретических исследований-. По существу, все наши надежды на построение теории элементарных частиц связаны с неабелевыми калибровочными полями. Это относится и к единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий, и к глюонной теории сильного взаимодействия, и, наконец, к возможному будущему синтезу этих теорий. (Напомним, что теория

цветных глюонов, взаимодействующих с цветными кварками, обладает локальной -симметрией.)

В этом месте вдумчивый читатель должен был бы прервать этот панегирик и задать естественный вопрос: как учесть массы?

Как учесть массы?

В первую очередь возникает вопрос, как внести в теорию массы промежуточных бозонов. Ведь из эксперимента мы знаем, что эти частицы должны иметь массы (и довольно большие!) в то время как янг-миллсовские калибровочные поля безмассовы. На первый взгляд кажется, что ничего страшного не произойдет, если ввести в лагранжиан массовый член , что называется «руками». В случае абелевых калибровочных полей это не приводит к чему плохому, как мы убедились, обсуждая вопрос о массе фотона. Для фотона существует «мягкий» переход от квантовая электродинамика остается перенормируемой.

Легко убедиться, что для неабелевых калибровочных полей это не так: включение массы «руками» разрушает перенормируемость. Рассмотрим амплитуду испускания фотонов:

В абелевом случае матричный элемент поперечен по любой комбинации индексов. Например:

и т. д. При этом может быть как равным нулю, так и отличным от нуля, т. е. фотоны могут быть как реальными, так и виртуальными. В отличие от этого, в неабелевом случае поперечность по любому из «фотонов» имеет место лишь тогда, когда все остальные «фотоны» реальны (находятся на массовой поверхности), и их испускание явно учтено в амплитуде их волновыми функциями:

Во всех остальных случаях поперечности нет (в частности, ). Это связано с тем, что неабелевы фотоны несут изотопический заряд. Виртуальный неабелев фотон по определению переносит этот заряд из одной части фейнмановской диаграммы в другую. Рассматривая диаграмму, в которой один из «фотонных» концов виртуален, мы рассматриваем, по существу, лишь кусок физической диаграммы, для которого нет сохранения изотопического тока и, следовательно, поперечности. (Обычные (абелевы) фотоны электрически нейтральны, и поэтому для них этого явления нет.)

Вспомним теперь, как выглядит продольная часть волновой функции массивной векторной частицы:

здесь , k — масса, энергия, импульс частицы, -им-пульс. Отсюда следует, что амплитуда испускания продольных абелевых фотонов стремится к нулю, как при . В отличие от этого, амплитуда испускания продольных неабелевых фотонов ведет себя как и неограниченно растет при если Действительно, умножая матричный элемент на волновые функции, мы лишь в одной из них оставим часть , а в остальных волновых функциях оставим . Тогда

Таким образом, в неабелевом случае мы по-прежнему имеем дело с иеперенормируемой теорией.

Калибровочное происхождение промежуточных бозонов позволило лишь на две степени энергии улучшить поведение амплитуд при высоких энергиях, уменьшить их рост. Для того чтобы избавиться от этого роста полностью, необходимо, чтобы с появлением у промежуточных бозонов массы, в лагранжиане появлялись дополнительные поля, вклад которых компенсировал обсуждаемые расходимости. Такое «мягкое» включение массы промежуточных бозонов возникает при спонтанном нарушении калибровочной симметрии, которое мы рассмотрим в следующей главе. В ней на ряде примеров мы увидим, что в механизме спонтанного нарушения калибровочной симметрии центральную роль играют скалярные поля. Ожидаемые физические свойства частиц, отвечающих этим полям, так называемых хиггсовых бозонов, будут обсуждены в гл. 24.