20. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ

Конечной целью этой главы является введение масс -бозонов с помощью хиггсовского механизма спонтанного нарушения локальной -симмегрии. Такой способ введения масс не нарушает перенормируемости теории. Предварительно мы рассмотрим несколько более простых примеров спонтанного нарушения различных симметрий: дискретной, глобальной и локальной и глобальной Спонтанное нарушение симметрии возникает при вырождении вакуума.

Спонтанное нарушение дискретной симметрии

Начнем наше рассмотрение с простейшего случая — обычного скалярного действительного поля, лагранжиан которого имеет вид

а гамильтониан—

здесь — масса частиц, описываемых полем —безразмерная константа, характеризующая взаимодействие между этими частицами. Рассмотрим поле, постоянное во времени и пространстве: Для такого поля На рис. 20.1 изображена функция . Она имеет минимум при это отвечает тому, что в вакууме (состоянии с наименьшей энергией) поле отсутствует.

Как видно из выражения для лагранжиана и рис. 20.1, лагранжиан обладает симметрией относительно дискретного преобразования . Рассмотрим теперь тот же лагранжиан, но изменим знак при

Рис. 20.1

Рис. 20.2

Рис. 20.3

На первый взгляд мы получим частицу, для которой и которая поэтому движется со скоростью, большей скорости света:

Такие частицы называют тахионами. В действительности же тахнон не возникает, поскольку состояние с не является в этом случае вакуумом. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим потенциальную энергию (рис. 20.2):

Мы видим, что при имеет минимум, а максимум. Именно поэтому малые возмущения поля вблизи нельзя

рассматривать как частицы. Система здесь неустойчива: ей «выгодно скатиться» в один из устойчивых минимумов: или . Она имеет не один вакуум при как в обычном; случае, когда знак при положителен, а два вырожденных вакуума при Вырожденными мы их называем потому, что их энергия одинакова.

Добавив постоянную величину к (это не изменит уравнений поля!), запишем ее в таком виде, чтобы вырожденный вакуум лежал при Наше новое выражение для будет иметь (рис. 20.3)

Кажется более разумным иметь дело с изображенным на рис. 20.3, а не на рис. 20.2, поскольку в первом случае плотность энергии вакуума равна Это колоссальная отрицательная энергия: при ГэВ она составляет в то время как средняя плотность вещества во Вселенной порядка

Из. наблюдательных данных о расширении Вселенной можно заключить, что плотность энергии вакуума (так называемый космологический член в уравнениях Эйнштейна) вряд ли существенно превышает наблюдаемую плотность вещества (скажем, не более чем в 10 раз). Итак, в дальнейшем будем работать с Выбор того или иного вакуума определяется какими-то ничтожными возмущениями в первые мгновения образования Вселенной. Но после того, как система спонтанно «скатилась» в один из вакуумов, перейти в другой вакуум уже не сможет. Амплитуда подбарьерного перехода из состояния в состояние равна нулю, поскольку она имеет вид где -действие. В данном случае действие мнимое (так как переход подбарьерный; классически он запрещен) и бесконечно большое (так как действие определяется интегралом по всему пространству Вселенной), и мы получаем

Но нельзя ли перейти к другому вакууму не во всей Вселенной, а лишь в части ее? Нельзя ли, например, сделать новый вакуум в объеме порядка в лабораторных условиях? Оказывается, что пузырек нового вакуума даже с очень малыми размерами, порядка размеров атомного ядра, сделать очень трудно, и такой пузырек нестабилен. Он должен схлопнуться за ядерное время, превратившись в мезоны. Все дело в том, что граница между двумя вакуумами представляет собой материальную стенку с очень высокой поверхностной плотностью а, порядка и толщиной порядка При ГэВ получаем, что см, Указанные выше оценки легко получить, если минимизировать плотность энергии стенки, которая

равна сумме двух членов:

где х — координата, нормальная плоскости стенки. Подставляя сюда

даходим, что минимум а достигается при причем

Итак, в случае мы имеем дело с лагранжианом, обладающим зеркальной симметрией (относительно преобразования и с вакуумом (скажем, ), который таковой симметрией не обладает. Это типичный пример так называемого спонтанного нарушения симметрии.

Абдус Салам привел как-то житейский пример спонтанного нарушения дискретной симметрии. Представьте себе большой Круглый сервированный стол, за который садятся гости. Каждый из них может взять салфетку либо справа, либо слева от себя. Но как только один из гостей сделал выбор, у других выбора не остается: система спонтанно теряет симметрию. Очевидно, что симметричное состояние неустойчиво, особенно если гости голодные.

Если записать поле в виде то X будет описывать возбуждения поля (частицы) относительно вакуума . В новых переменных лагранжиан уже не обладает зеркальной симметрией:

Заметим, что поле уже не является тахионным: его масса равна и массовый член имеет обычный знак (минус — в лагранжиане, плюс — в гамильтониане).