Глюонный монополь и «пингвины»

При учете виртуальных глюонов возможен еще один класс диаграмм, которые мы до сих пор не учитывали. Речь идет о диаграммах, в которых виртуальный Р-бозон испускается и поглощается одной и той же кварковой линией, а связь с другими кварками осуществляется глюонами.

Рис. 7.5

На рис. 7.5, а, б изображены простейшие диаграммы такого типа. Мы сейчас вычислим их вклад. В главном логарифмическом приближении можно учесть одевание этих диаграмм бесконечным числом глюонов, но это не сильно изменит результат.

Если пренебречь перемешиванием и -кварков с -кварками, то заряженные токи имеют вид

В результате, если бы массы и- и с-кварков были одинаковыми, диаграммы рис. 7.5, а и 7.5, б взаимно скомпенсировались бы.

Рис. 7.6

В действительности и компенсация происходит лишь при импульсах виртуальных частиц, больших чем те. При меньших импульсах доминирует диаграмма 5, а. Учитывая это, можно прийти к выводу, что сумма диаграмм 5, а и 5, б примерно равна вкладу первой из них с импульсами виртуальных частиц, образующих петлю 5, а, обрезанными при Учитывая, что мы можем вернуться в диаграмме 5, а к точечному четырехфермионному взаимодействию (рис. 7.6, а). Просвет в четырехфермионной вершине на рис. 7.6, а отделяет друг от друга два белых -тока, стоящих в скобках в выражении

где греческие индексы—дираковы, а латинские — цветовые. Для упрощения дальнейшего расчета удобно произвести преобразование Фирца так, чтобы операторы и, и вошли в одну скобку, а другую (рис. 7.6, б). Воспользуемся тем (см. гл. 28, пп. 2.6 и 3.4), что

и учтем, что фермиоиные операторы антикоммутируют. Тогда

Теперь наша задача свелась к вычислению -кварковой петли на рис. 7.6, б г Верхняя вершина (испускание глюона) в этой петле имеет вид

Поскольку при вычислении петли надо взять след по дираковским и цветовым индексам, то в нижней вершине член

даст нулевой вклад, а в члене даст ненулевой вклад лишь слагаемое

За исключением дополнительных цветовых матриц наша петля в точности такая, какая встречается в квантовой электродинамике при расчете поляризации вакуума:

где , q-4-импульс, уносимый глюоном (см. рис. 7.6, б), массой -кварка мы пренебрегли, поскольку

Знак минус перед всем выражением возникает от следующих стандартных сомножителей, обсуждение которых можно найти в любом учебнике по квантовой теории поля: для замкнутой фермионной петли, для каждого фермионного пропагатора, для каждого пропагатора векторной частицы, для каждой вершины, из-за перехода в от к . Кроме того, следует учесть связь -матрицы с Г-матрицей: и с лагранжианом:

Вид интеграла с точностью до безразмерного коэффициента определяется условием поперечности (оно, в частности, требует зануления квадратичной расходимости). Чтобы найти умножим левую и правую части на Тогда

поскольку

Таким образом,

где верхний предел интеграла мы выбрали равным так как при происходит компенсация диаграмм рис. 7.5, а и а нижний — равным поскольку при свободный кварковый пропагатор должен модифицироваться из-за невылетания кварка. В результате вклад диаграммы рис. 7.6, а оказывается равным

Заметим, что множитель в пропагаторе глюона скомпенсировался множителем который дала кварковая петля. Так что эффективное четырехкварковое взаимодействие, отвечающее диаграмме рис. 7.6, а, локальное. Поскольку эффективная вершина испускания глюона при переходе -кварка в -кварк обращается в нуль при где -ймпульс глюона, то ее можно назвать монопольной по аналогии с монопольными электромагнитными переходами в ядрах, в которых запрещено испускание реальных квантов с и происходит испускание пары . (Более точно, -вершина является суммой монополя и анаполя ).

Поясним теперь, почему мы подставили в полученное выше выражение Буквально диаграммам рис. 7.6 отвечает поскольку именно в точке те происходит обрезание петли. Можно показать, однако, что если учесть одевание диаграмм рис. 7.6 дополнительными глюонами, то войдет перенормировочный множитель где , и в интересующем нас выражении заменится на (Напомним, что выше мы условились, что Если ввести обозначение

то при получим, что Таким образом, очень мало:

Тем не менее вклад диаграмм типа рис. 7.6 оказывается весьма существенным из-за особой спиновой структуры оператора

Дело в том, что этот оператор представляет собой сумму двух слагаемых:

Первое из этих слагаемых содержит лишь левые спиноры и из-за малости коэффициента перед ним играет меньшую роль, чем операторы имеющие ту же спиральную структуру. Поэтому при грубом расчете этим оператором можно пренебречь. Второй оператор — мы назовем его -содержит, наряду с левыми спинорами, - правые. Это обстоятельство, как мы увидим в гл. 9, в ряде случаев может сильно увеличить его вклад в амплитуды нелептонных распадов.