Как вычислить вклад «квадратика»

Читателю, который встретит трудности при попытке самостоятельно вывести три последних соотношения, возможно, будут полезны нижеследующие пояснения.

Приступая к вычислению «квадратика», пренебрежем импульсами внешних частиц на диаграмме рис. 11.6. Импульс внутренних, виртуальных, частиц обозначим Верхней фермионной линии отвечает выражение

где а массой -кварка мы пренебрегаем. Нижней линии, как нетрудно видеть, отвечает аналогичное выражение с заменой а

Поскольку интеграл по виртуальным импульсам сходится при мы заменим взаимодействия через НР-бозоны точечными четырехфермионными взаимодействиями с константой Возьмем интеграл по

Здесь общий множитель сокращается при переходе от псевдоевклидовых к евклидовым переменным в интеграле: . Отсюда же возникает и общий знак минус.

В результате амплитуда «квадратика» приобретает вид

Мы дважды воспользовались здесь преобразованием Фирца и тем, что

(В этих выражениях явно выписаны цветовые индексы кварков.)

Мы видим, что коэффициент в полученном нами выражении для кварковой амплитуды в. два раза больше, чем коэффициент в выражении для эффективного кваркового лагранжиана, полученный в предыдущем разделе. Это обусловлено тем, что лагранжиан квадратичен по входящим в него операторам уничтожения -кварков и рождения -кварков. Поэтому каждую амплитуду, описывающую

взаимодействие кварков, каждый из которых находится в данном состоянии (например, с данным импульсом), лагранжиан генерирует дважды: .

Итак, мы вычислили и нашли эффективный лагранжиан с лагранжиан с дается эрмитово сопряженным выражением.

Зная кварковый лагранжиан, мы можем теперь вычислить сумму амплитуд перехода которая, как отмечалось выше, пропорциональна Рассмотрим для этого диаграмму рис. 11.4. Эта диаграмма не учитывает глюонных обменов между двумя кварковыми петлями (они кратко обсуждаются в гл. 15). Но так же, как диаграмма, описывающая лептонный распад -ме-зона (см. рис. 6.1, а), она учитывает все сильные взаимодействия в одной петле в виде феноменологического матричного элемента

где - 4-импульс -мезона, — его волновая функция, МэВ.

В результате для амплитуды перехода получаем

Здесь слагаемое, пропорциональное 1/3, возникает от конфигураций

когда матричные элементы берутся не - от бесцветных, а от цветных токов. Чтобы убедиться в этом, перепишем последнее выражение в виде

Используя теперь одно из соотношений Фирца для цветовых матриц К (см. гл. 28, п. 2.6)

и учитывая, что поскольку -мезон и вакуум бесцветны, получаем искомое слагаемое, пропорциональное 1/3, в амплитуде перехода

Таким образом, мы объяснили, как вычисляется матричный элемент перехода Он оказался равным (Заметим, что он имеет размерность такую же, как и матричный элемент от обычного массового члена бозонного лагранжиана.) Для суммы переходов получаем и, следовательно,

откуда получаем

Заключительная формула предыдущего раздела получится, если воспользоваться тем, что

На этом мы закончим это отступление, разъясняющее детали расчетов величины и продолжим обсуждение свойств нейтральных -мезонов.