Распад поляризованного мюона
Пусть в системе покоя мюона его спин направлен по единичному вектору
Тогда, согласно гл.
матрица плотности мюона имеет вид
где 4-вектор
обладает следующими свойствами:
. В системе покоя мюона
. В системе, где мюон движется с импульсом
Если теперь в проделанном выше расчете заменить
то в полученном нами выражении
придется сделать замену
(Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ту часть следа, куда входит матрица плотности мюона и ее ближайшее окружение
Члены
дали нуль, так как они умножились на
. Что касается множителя 1/2, то поскольку в
распаде неполяризованного мюона он учитывался в выражении для вероятности, отражая усреднение по поляризациям мюона, то второй раз его учитывать не следует.) Итак, с учетом поляризации мюона
где
- единичный вектор в направлении вылета электрона,
- элемент телесного угла,
Получая это выражение, мы учли, что
поскольку
кроме того, мы учли, что в системе покоя мюона
Проинтегрированная по спектру электронов угловая асимметрия имеет вид
Полученные нами формулы относятся к случаю, когда поляризация электрона не измеряется. Если бы нас интересовала зависимость вероятности распада от поляризации электрона, мы должны были бы в выражении для
заменить
на
где
- 4-вектор, характеризующий поляризацию электрона:
Из явного выражения для компонент
видно, что в ультрарелятивистском пределе составляющими
нормальными к
можно пренебречь по сравнению с
. В результате получаем, что при
Мы воспроизвели, таким образом, хорошо известное нам свойство слабого взаимодействия — испускать релятивистские лептоны левополяризованными. С учетом поляризации электрона вероятность распада имеет вид
Для распада
— аналогичный расчет дал бы
где
- энергия позитрона, деленная на его максимальную энергию,
— единичные векторы в направлении импульса позитрона, спина позитрона и спина мюона соответственно.