3. Свойства матриц Дирака

3.1. Матрицы Матрицы удовлетворяют условию

Мы используем представление

или, что то же:

(В определении знака матрицы - единственное отличие наших обозначений от обозначений известной книги Бьёркена и Дрелла.)

«Скалярное произведение» матриц у и 4-вектора

Умножая на получим соответственно

Если последнее равенство умножить справа на где - произвольное матричное выражение, то получится

Отсюда получаем:

3.2. След матриц у. След -сумма диагональных элементов матрицы:

По определению

Отсюда, используя соотношения легко получить, что след произведения нечетного числа матриц равен.

Если воспользоваться соотношением то аналогичным приемом для случая, когда четно, нетрудно получить следующую редукционную формулу:

Для и имеем

Из определения следует, что

где - полностью антисимметричный тензор четвертого ранга

Если умножить это на то получим

(Мы использовали при этом, что

Аналогично получаются соотношения

3.3. Дираковский биспииор. Уравнение Дирака для свободной частицы с массой и 4-импульсом имеет вид

где — четырехкомпонентный спинор (биспшор):

Определим сопряженный биспинор следующим образом:

Он удовлетворяет уравнению

3.4. Четырехфермионные инварианты и тождества Фирца для матриц Дирака. Из биспиноров а и описывающих, вообще говоря, две разные частицы, можно составить 16 билинейных комбинаций, которые группируются в пять различных лоренц-ковариантных величин:

Здесь

Множитель в определении тензора введен для того, чтобы каждая из шести компонент тензора была нормирована на единицу (точнее на —1):

Так же нормированы остальные коварианты:

Можно было бы иметь полное единообразие, если ввести в определение тензора и аксиала множитель но по традиции этого обычно не делают.

Из четырех биспиноров лоренцев скаляр можно построить пятью способами:

16 матриц образуют полную систему, поэтому любой из вариантов может быть представлен как линейная суперпозиция вариантов с измененным порядком спиноров:

где

Можно показать (см. следующий раздел), что коэффициенты имеют значения, приведенные в таблице.

Матрица Фирца

Отметим, что таблица симметрична по отношению к отражениям относительно центральной клетки . Отметим также, что таблицу следует читать слева направо, но не сверху вниз; это связано с тем, что пять инвариантных амплитуд, по которым производится разложение, не ортогональны друг другу: матрица Фирца не является матрицей ортогонального поворота. Глядя на рицу Фирца, легко проверить, что при перестановке две комбинации вариантов переходят сами в себя со знаком плюс, а три — со знаком минус (если предположить, что биспиноры коммутируют):

В нерелятивистском пределе симметричные комбинации переходят в выражение а антисимметричные — в . (Действительно, в нерелятивистском пределе

Напомним, что для системы двух спиноров выражение является проекционным оператором состояния с полным спииом равным единице, а выражение -проекционный оператор состояния с Это легко увидеть, если возвести в квадрат равенство

Мы видим, таким образом, что имеется полное согласие между нерелятивистскими и релятивистскими свойствами симметрии: ведь состояние с антисимметрично при перестановке образующих его спиноров, а состояние с симметрично.

До сих пор мы рассматривали пять лоренцевых скаляров. Точно такая же матрица Фирца связывает между собой пять лореицевых псевдоскаляров. В этом легко убедиться, если в рассмотренных выше четырехфермионных выражениях заменить, скажем, на

В расчетах слабых процессов особенно часто встречаются два соотношения:

Эти соотношения легко получаются из фирцевского разложения -варианта. Для получения первого надо сделать замены:

Для получения второго надо сделать замены:

3.5. Вывод тождеств Фирца для матриц Дирака. В этом разделе приведем явный вывод матрицы Фирца. Рассмотрим сначала» некоторые вспомогательные соотношения. Разложим произвольную -матрицу y по 16 матрицам

Тогда

где

Легко проверить, что

Таким образом,

или, явно выписывая матричные индексы,

Последнее равенство будет иметь место, если

Сделав в этом выражении замену и умножив его на тензор где и -некоторые матричные выражения, получим основное соотношение, с помощью которого вычисляются коэффициенты матрицы Фирца:

Если рассмотреть это выражение в спинорных обкладках а то получится именно то, что нам нужно: при переходе от левой части равенства к правой спиноры меняют своих партнеров. Рассмотрим теперь, как получаются отдельные строки матрицы Фирца.

Скалярный вариант. В этом случае Отрицательные значения обеспечивают правильный знак в скалярном произведении Отрицательный знак обусловлен тем, что Отрицательный знак легко проверить, если учесть, что в сумму слагаемое входит со знаком минус (из-за псевдоевклидовой метрики).

Псевдоскалярный вариант. Из-за антикоммутации у с

Векторный вариант. Коэффициенты второй строки матрицы Фирца определяются следующими

соотношениями:

Аксиальный вариант . Выкладки аналогичны предыдущему случаю.

Тензорный вариант При получении коэффициентов использованы соотношения:

Чтобы получить соотношения Фирца для продольных спиноров, надо взять

или