5. ЛЕПТОННЫЕ РАСПАДЫ ПИОНОВ И НУКЛОНОВ

В этой главе мы рассмотрим следующие лептонные распада адронов: распады -мезонов где или -распад нейтрона - захват Кроме того, мы кратко обсудим распады которые также обусловлены -током.

Распады ....

Начнем с распада Кварковая диаграмма этого распада изображена на рис. 5.1. Вершина, отмеченная точкой на диаграмме, представляет собой условное изображение того, что состоит из и . В матричном элементе На векторная часть равна нулю, мы запишем в виде где -волновая функция пиона, — его 4-импульс и представляет собой параметр размерности массы (иногда вместо исполь. зуюг константу Амплитуда процесса имеет вид

Рис. 5.1

Во многих статьях и книгах волновая функция пиона не включается в выражение для амплитуда, поскольку она не несет никаких лоренцевых или спинорных индексов (в отличие от волновых функций частиц с ненулевым спином скажем, фотона или электрона), и при используемой нами нормировке ее значение равно единице. Мы, тем не менее, явно выписываем ее, чтобы

каждая частица, участвующая в процессе, была представлена в амплитуде своей волновой функцией, и, кроме того, чтобы было явно видно, что - является аксиальным 4-вектором, поскольку -псевдоскаляр. Воспользуемся сохранением 4-импульса

и уравнением Дирака и перепишем М в следующем виде:

Мы видим, что амплитуда пропорциональна и зануляется при . Это зануление связано с тем, что как мы уже отмечали раньше, слабое взаимодействие сохраняет спиральность, а распад мезона с нулевым спином на левое нейтрино и правый антилептон, летящие в противоположные стороны, запрещен сохранением углового момента. Стандартным образом находим

где — масса пиона, -энергия нейтрино в системе покоя пиона

Запишем вероятность распада в виде

где Ф — фазовый объем:

Чтобы не усложнять обозначений, в последнем равенстве одной и той же буквой обозначены как подынтегральная переменная, так и фиксированная кинематикой распада (-функцией) величина, вошедшая в результат интегрирования. Думаю, что это не смутит читателя. В результате получаем

Сравнивая это выражение с известной из опыта вероятностью распада находим, что МэВ. Как мы увидим в дальнейшем, эта величина входит во все соотношения, получаемые на основе Отношение вероятностей распадов не зависит от величины и равно

Следует подчеркнуть, что величина для обоих распадов строго одна и та же. Это обусловлено тем, что матричный элемент -тока зависит от суммарного 4-импульса лептонов, но не от 4-импульса каждого из лептонов в отдельности.

Распад ...

Распад изображается суммой кварковых диаграмм (рис. 5.2). Амплитуда этого распада имеет вид

где

Здесь - волновые функции -мезонов, и - их 4-импульсы, .

Рис. 5.2

Скалярные безразмерные параметры являются, вообще говоря, функциями однако, поскольку энерговыделение в распаде мало, можно считать, что во всей физической области формфакторы постоянны:

В силу сохранения векторного тока

Это равенство должно выполняться в пределе строгой изотопической инвариантности при выключенном электромагнитном взаимодействии. В этом пределе и условие поперечности имеет вид

отсюда следует, что Что касается то ее величина фиксируется тем, что векторный -ток входит в один триплет с изовекторным электромагнитным током. Как было показано в предыдущей главе, представляет собой слабый векторный заряд, величина которого в переходе равна Это значение легко получить и «на пальцах», глядя на диаграммы рис. 5.2, если учесть, что слабые заряда в переходах кварка и антикварка

равны соответственно Интересующий нас матричный элемент имеет вид

Итак, амплитуда -распада

Упражнение. Вычислить с этой амплитудой ширину -распада.

Ответ:

Здесь при расчете пренебрегалось более высокими степенями отношений Вычисленная нами вероятность -распада составляет примерно от полной ширины -мезона. Эксперименты подтверждают теоретическое предсказание для

b-распад нейтрона

В распаде отличны от нуля как так и . В наиболее общем виде можно записать:

Все шесть формфакторов являются функциями где Характерный масштаб значений на которых меняются эти функции, составляет величину порядка Исключением является для которой эта величина гораздо меньше, — порядка ГэВ. В любом случае энергия, выделяемая в Р-распаде, настолько мала, что можно рассматривать все шесть формфакторов, как константы. На опыте зависимость функций от измеряется в нейтринных экспериментах:

Мы будем говорить о них в гл. 17.

Векторные формфакторы

Рассмотрим сначала векторные формфакторы Из сохранения векторного тока следует, что слабый заряд Это можно конечно, пелучить, складывая кварковые амплитуды

диаграмм рис. 5.3. Однако в данном случае проще сразу прибегнуть к общей формуле, согласно которой слабый заряд равен Для перехода имеем , следовательно, и слабый заряд в переходах равен слабому заряду в переходах

Рис. 5.3

Данные по Р-распаду нейтрона и сверхразрешенным переходам в ядрах (обусловленных именно слабым векторным зарядом, см. гл. 4) дают при этом значение

В главе о распаде мюона мы уже отмечали, что измерение времени жизни мюона дает наиболее точное значение константы

С другой стороны, данные по сверхразрешенным Р-переходам в ядрах обусловленных векторным током, дают

(Неопределенность в этой величине примерно в равной степени связана с экспериментальными ошибками и с теоретическими неоднозначностями в учете радиационной, кулоновой и слабой поправок.) Сравнивая с находим

Независимое определение величины дают лептонные распады странных частиц:

Величину обычно называют слабым магнетизмом. Сходство слабого и электромагнитного токов позволяет предсказать значение Действительно, электромагнитные нуклонные вершины имеют вид

Эго значит, что изоскалярная вершина равна

а изовекторная

Поскольку изовекторный электромагнитный ток входит в один триплет со слабым векторным током, то последнее выражение справедливо и для Учитывая, что получаем Заодно мы получаем также, что Член называют обычно эффективным скаляром. Это название связано с тем, что его можно записать в виде скаляра:

Есть две причины, по которым Во-первых, поперечность следует, что , во-вторых, то обстоятельство что должно быть -четно, а изовекторный скаляр - G - нечетен. Наилучшие, экспериментальные ограничения на величину дает процесс -захвата

Рис. 5.4

Возвращаясь к слабому магнетизму, отметим, что непосредственно в -распаде нейтрона наблюдать вклад этого члена очень трудно из-за малости последнего. Он существенно больше в -переходах ядер с большим энерговыделением, например в изотопически зеркальных -переходах бора и азота (рис. 5.4). Величина слабого магнетизма в этих переходах выражается через величину магнитного матричного элемента в радиационном распаде возбужденного уровня входящего в один изотопический триплет с основными состояниями (у всех трех уровней

Аксиальные формфакторы

Три аксиальных формфактора носят следующие названия: -аксиальный заряд, -слабый электризм, эффективный псевдоскаляр. Начнем с члена -эгкгт член аналогичен электрическому дипольйому моменту нейтрона. Подобно последнему, который запрещен в силу СР-инвариантности электромагнитного взаимодействия, слабый электризм также запрещен. Причиной запрета является то, что этот член имеет положительную -четность, в то время как аксиальный ток -нечетен. Члены являются -нечетньми и, следовательно, не запрещены.

Между ними существует связь, налагаемая частичным сохранением аксиального тока . В пределе безмассовых пионов аксиальный ток сохраняется и матричный элемент поперечен:

Сам по себе член не поперечен, поскольку отличны от нуля массы нуклонов:

Чтобы сделать матричный элемент поперечным, умножим его на поперечное выражение Получившееся выражение при умножении на дает нуль, однако это выражение, наряду с членом содержит еще одно слагаемое, в котором трудно не узнать эффективный псевдоскаляр:

(Мы воспользовались тем, что рпип и приближенно положили, Видно, что формфактор эффективного псевдоскаляра содержит -мезонный полюс при (напомним, что массой -мезона мы пока, пренебрегаем). Феноменологически этот полюс отвечает диаграмме рис. 5.5. Константы и определяющие величину диаграммы, нам известны. Величина характеризует распад , как мы выяснили в начале этой главы, МэВ. Константа характеризует сильное взаимодействие -мезонов с нуклонами. Если записать вершину в виде

то известное из опыта значение таково, что да 14. Чтобы окончательно договориться о нормировке, заметим, что в электродинамике аналогичная величина

Рис. 5.5

Когда-то константа для сильного взаимодействия считалась столь же фундаментальной константой, как -для электромагнитного. Сегодня мы знаем, что -величина чисто феноменологическая и в фундаментальный лагранжиан сильного взаимодействия не входит.

Константа характеризует вершину в условиях, когда все три частицы находятся на массовой поверхности. Например, она равна вычету пионного полюса в амплитуде нуклон-нуклонного рассеяния или вычету нуклонного полюса в амплитудах пион-нуклонного

рассеяния и фоторождения пионов. В рассматриваемый аксиальный формфактор нуклона величина входит как вычет пионного полюса.

Перепишем -нуклонную вершину в градиентном виде:

тогда МэВ. (Введенную здесь величину не следует путать с введенными ранее величинами и с величиной часто используемой в литературе.) Мы видим, что полюсной член в амплитуде, описываемой диаграммой рис. 5.5, должен равняться

С другой стороны, умножение матричного элемента на Дало нам выше

Следовательно,

Это так называемое соотношение Голдбергера—Треймана. Если подставить в него числовые значения то получим что хорошо согласуется с известным из опыта значением (В литературе часто используются обозначения: вместо нашего вместо нашего иногда через обозначают — Следует учесть, что экспериментальные определяются при при Мы предполагаем, что при сдвиге на ГэВ эти величины меняются мало.

Появление пионного полюса в матричном элементе аксиального тока является следствием спонтанного нарушения киральной симметрии, выражающегося в том, что из безмассовых кварков возникают массивные нуклоны. Как уже отмечалось в предыдущей главе, из-за наличия у нуклонов массы киральная симметрия реализуется нелинейным образом, за счет возникновения изотопического триплета безмассовых псевдоскалярных частиц. Такие частицы со спином, равным нулю, и нулевой массой, сопровождающие спонтанное нарушение симметрии, носят название голдстоновских мезонов. На примере -распада мы видим, каким образом полюсной член, отвечающий безмассовому голдстоновскому мезону

обеспечивает сохранение аксиального тока (поперечность После умножения на лептонную скобку этот член дает эффективный

псевдоскаляр:

Для (-распада эффективный псевдоскаляр очень мал из-за малой массы электрона. Он значительно больше в реакции -захвата.

При обсуждении численной величины эффективного псевдоскаляра мы уже не можем игнорировать то обстоятельство, что -мезон не безмассов. Обычно массу пиона учитывают по-простецки, вставляя в пропагатор «руками», так что «константа» эффективного псевдоскаляра приобретает вид

Мы видим, что меняется с изменением . В процессе практически всю энергию (порядка уносит нейтрино, а нуклон получает импульс порядка так что . Учитывая это, получаем, что Опыты по -захвату согласуются с такой большой величиной эффективного псевдоскаляра.

Вероятность b-распада. Угловые корреляции

Мы уже упоминали, что лагранжиан взаимодействия лептонных токов с токами легких кварков CP-инвариантен (более подробно об этом гойорится в гл. 12). В силу СРТ-теоремы, из этого следует, что этот лагранжиан инвариантен также и относительно обращения времени Т. Можно показать, что Г-инвариантность лагранжиана приводит к действительности формфакторов в матричном элементе Р-распада нейтрона. То же относится и к формфакторам в распадах пионов.

Итак, мы закончили рассмотрение всех шести формфакторов в Р-распаде нейтрона. Основной вклад в этот процесс дают векторный и аксиальный заряды, так что амплитуда распада может быть записана в виде

где

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)

Распады ...

В распадах странность не меняется и, следовательно, они обусловлены -током. Общий вид V и для этих распадов такой же, как и для -распада нейтрона, но в связи с тем, что и -гипероны не входят в один изотопический мультиплет, . В этом проще всего убедиться, если воспользоваться условием . При этом получится, что

и, следовательно, при . В результате доминирующим членом в является где а величина определяет ширину -гиперона относительно распада (Полным электромагнитным аналогом распада является распад ) Поскольку то величина мала и вклад в полную вероятность распадов

пренебрежимо мал. Что касается аксиального матричного элемента то в нем и вероятность распадов определяется величиной которая для обоих распадов одна и та же. Поскольку МэВ, а

Экспериментальные данные согласуются с этим числом.