2. Группы

2.1. Некоторые определения. Группой называется множество элементов, в котором определены операция ассоциативного умножения, единичный элемент и каждому элементу отвечает обратный элемент. Если все элементы коммутируют между собой, то группа называется абелевой. Представлением группы 3 называется группа линейных преобразований (матриц) в некотором линейном пространстве (базисе представления, мультиплете), элементы которой находятся в однозначном соответствии с элементами группы Группы, элементы которых аналитически зависят от конечного числа параметров, называются группами Ли. Число независимых параметров называется размерностью группы. Генераторами для данного представления называются операторы с помощью которых осуществляются преобразования, сколь угодно близкие к единичным: Максимальное число коммутирующих между собой операторов называется рангом группы. Число линейно независимых векторов в базисе (число компонент мультиплета) называется размерностью представления (размерность представления равна порядку матриц, его реализующих). Если при некотором выборе базиса представление разбивается на сумму независимых подгрупп, то оно называется приводимым; если этого нельзя достичь никаким выбором базиса, то неприводимым. Фундаментальным называются представления, из которых с помощью перемножения можно построить все остальные представления группы. Размерность регулярного (присоединенного) представления равна порядку группы.

2.2. Группы . (-группа комплексных матриц удовлетворяющих условию унитарности и унимодулярности фундаментальным мультиплегом которой является -компонентный спинор, а фундаментальным представлением матрицы порядка.

2.3. Группа Фундаментальным представлением группы являются матрицы

где - матрицы Паули, а - три реальных параметра. Обозначение а; используется при описании спина частиц (при описании изоспина обычно эти же матрицы обозначают Матрицы Паули удовлетворяют коммутационным соотношениям:

где полностью антисимметричный единичный тензор. Компоненты этого тензора являются структурными константами группы Обычно матрицы Паули выбирают в виде

Матрицы Паули удовлетворяют условию

След матрицы

Произвольное представление группы имеет три генератора, удовлетворяющих условию

Для регулярного (трехмерного) представления

Очевидно, что ненулевые матричные элементы этих генераторов могут быть записаны в виде

где а — номер столбца, - номер строки.

2.4. Тождества Фирца для матриц

где . Эти соотношения легко проверить, умножив оба равенства на и на Из этих равенств следует, что

Действуя на произведения спиноров первое из этих выражений дает состояние со спином 1, а второе — со спином 0. Это согласуется с тем, что оператор, зануляющий состояние со спином имеет вид

2.5. Группа Фундаментальным представлением группы являются матрицы

где -матрицы Гелл-Манна, а - восемь реальных параметров. Обычно матрицы выбирают в виде

Матрицы , удовлетворяют следующим соотношениям:

Здесь - структурные константы группы симметричны, антисимметричны относительно перестановок любой пары индексов. Прямым вычислением легко найти 54 ненулевые константы и 58 ненулевых констант

где - число перестановок индексов Заметим, что если среди нечетное число раз встречаются индексы 2, 5, 7. Напротив, если индексы 2, 5, 7 встречаются четное число раз. Эта выделенность индексов 2, 5, 7 связана с тем, что соответствующие матрицы X антисимметричны.

2.6. Тождества Фирца для матриц X. Пользуясь полнотой девяти трехрядных матриц запишем, введя неопределенные коэффициенты:

где Умножив оба равенства на получим

Умножив их же на получим

откуда следует

Теперь нетрудно найти, что

Действуя на произведение двух триплетных спиноров, первое из этих выражений отбирает состояние 6, а второе — (напомним, что

2.7. -мультиплеты. Контравариантный трехкомпонентный спинор преобразуется матрицами мы будем обозначать его 3. Ковариантный спинор преобразуется по комплексно-сопряженному представлению: мы будем обозначать его 3. Пользуясь инвариантными тензорами можно построить из 3 и 3 представления более высоких размерностей:

Произвольный тензор может быть записан в виде

где отдельно по всем верхним и по нижним индексам проведена симметризация, и след по любой паре равен нулю. Нетрудно найти -полное число компонент мультиплета

Примеры физических -мультиплетов:

- триплет кварков,

- (анти)триплет - антикварков,

— октет псевдоскалярных мезонов,

- октет барионов.

Выделяя изотопическую подгруппу группы удобно изображать частицы мультиплета на так называемых -диа-граммах, примеры которых приведены на рис. П.1-П.3.

Рис. П.1

Рис. П.2

Рис. П.3

Рис. П.4

Объединяя в -дублеты и -кварки (или и и-кварки), можно выделить из группы подгруппы и -спина (рис. П.4). Как видно из рис. П.1-П.4, частицы, входящие в один (-мультиплет, имеют одинаковые заряды. Заметим, что в октете состояния имеют определенный Г-спин и не имеют определенного -спина. Определенный -спин имеют их линейные суперпозиции: