Девять членов лагранжиана

Полный лагранжиан нашей системы содержит девять слагаемых:

Объясним обозначения и уточним смысл каждого из слагаемых. Начнем с ковариантной производной

Значение для различных полей, входящих в выражение для были приведены выше. Для изоскалярных полей с второе слагаемое в обращается в нуль. Для изоспинорных полей

Напряженности калибровочных полей имеют вид

Выражение описывает как свободное движение левых фермионов, так и их взаимодействие с калибровочными полями:

где

Для правого электрона

Для правого нейтрино

Обладая нулевым изоспином и гиперзарядом, правое нейтрино не взаимодействует ни с одним из калибровочных полей.

В следующем, шестом, слагаемом величина Оцгр имеет вид

Выражение имеет смысл изотопического скаляра:

Этот член описывает как свободное движение скалярных полей, так и их взаимодействие с калибровочными полями . При возникновении у поля вакуумного среднего, равного (см. седьмое слагаемое лагранжиана), шестое слагаемое даст массы промежуточным бозонам аналогично тому, как это было описано в предыдущей главе.

Восьмое и девятое слагаемые описывают взаимодействие фермионов со скалярными полями. После возникновения вакуумного среднего у поля эти члены дадут массы фермионам: член с электрону, а член с — нейтрино.

Изоспинор входящий в член с зарядово-сопряжен изоспинору и имеет вид

Здесь знак минус возникает из-за матрицы зарядового сопряжения в изотопическом пространстве,

Если мы хотим, чтобы масса нейтрино равнялась нулю, необходимо потребовать, чтобы (Экспериментальный предел: 30 эВ.) Если , то правое нейтрино оказывается полностью изолированным от остальных частиц и не участвует ли в сильных, ни в электромагнитных, ни в слабых взаимодействиях. Однако оно может участвовать в гравитационных взаимодействиях, так что гравитоны могут превращаться в пары . Родившись за счет такого механизма, были бы абсолютно «стерильными», но отклонялись бы гравитационными полями. Другая возможность заключается в том, что правых нейтрино вообще нет в природе.

Легко проверить, что все девять членов лагранжиана локально «зотопически инвариантны и локально сохраняют гиперзаряд.

Лагранжиан не содержит констант, имеющих опасную размерность в отрицательной степень), и Вайнберг еще в своей исходной работе высказал гипотезу о том, что лагранжиан перенормируем. Но доказать справедливость этого утверждения оказалось очень непросто. Это сделал ’т Хоофт (1971 г.). Рассмотрение этого доказательства выходит за пределы нашей книги.

Воспользовавшись калибровочной инвариантностью лагранжиана (см. гл. 20), совершим над изоспинором фазовые преобразования и приведем его к виду

где - действительная константа, входящая в лагранжиан; -действительное скалярное поле.

После перехода к новому вакууму поле описывает возбуждения над этим вакуумом — массивные нейтральные скалярные мезоны с массой Три других компоненты поля стали теперь «работать» продольными компонентами массивных -бозонов.