Замечания и упражнения

1. Все вычисления в этой главе проделаны в приближении, когда отношение считается пренебрежимо малым. Поэтому приведенные выше формулы справедливы лишь при . Учет поправок, связанных с конечной величиной и радиационной поправки порядка а, обусловленной виртуальными фотонами, дает (см. Обзор литературы, гл. 29):

где Сравнение этого выра жения с измеренным на опыте временем жизни мюона дает наибо точное значение константы

2. Естественно задать вопрос: какой смысл имеет дальнейшее, более точное, изучение распада мюона? Ответ: для того чтобы искать возможные отклонения от стандартной (-теории. Так, например, если наряду с обычными -бозонами, которые взаимодействуют с левыми заряженными токами, существуют более тяжелые -бозоны, взаимодействующие с правыми заряженными токами, то при распаде поляризованного мюона распределение электронов по энергии и углу вылета будет описываться полученными выше формулами лишь до известного предела точности. В качестве упражнения повторите проведенные выше расчеты для случая, когда матричный элемент распада мюона имеет малые добавки типа

или

3. О тождестве Фирца. Не заглядывая в Приложение (гл. 28), легко сообразить, что

где х — некоторый неизвестный коэффициент. Действительно, это равенство сразу же следует из требования, что правая часть, подобно левой части, не должна меняться при умножении волновой функции любого из четырех фермионов на Если же сделать преобразование Фирца дважды, то мы должны вернуться к исходному выражению. Следовательно, Таким образом, вид «фирцованного» матричного элемента с точностью до знака определяется элементарно.

4. А зачем вообще при расчете нужно использовать преобразование Фирца? Можно вычислять квадрат матричного элемента.

и не пользуясь тождеством Фирца. Однако в этом случае расчет более громоздкий, так как приходится иметь дело с произведением двух следов, каждый из которых представляет собой тензор второго ранга, не обладающий определенной симметрией относительно перестановки индексов. Воспроизведите равенство

не используя тождества Фирца.

5. Вычислите интеграл по фазовому объему нейтрино записав его в виде

6. Убедитесь, что матрица плотности поляризованной частицы

в случае, когда частица покоится, а ее спин направлен по оси с точностью до нормированного множителя равна

как и должно быть, если Как выглядит эта матрица, когда частица покоится, а ее спин смотрит в направлении Убедитесь, что, взяв сумму этих двух матриц, вы получите выражение