КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА МЕТОД

— метод расчета линеаризованных систем управления замкнутых по траекториям корней характеристического уравнения системы при изменении какого-либо параметра настройки (чаще всего коэффициента усиления). Предложили этот метод независимо один от другого в 1948 К. Ф. Теодорчик (СССР) и Ивэнс (США). Корневым годографом наз. геом. место корней характеристического ур-ния замкнутой системы при изменении коэфф. усиления К от 0 до . Если представить передаточную функцию разомкнутой системы в виде: , где К — коэфф. усиления, то ур-ние, эквивалентное характеристическому ур-нию замкнутой системы, можно записать так:

Заменив на получим выражения для модуля и аргумента

которое лежит в основе К. г. м.

Запишем передаточную ф-цию разомкнутой системы в виде

где имеет корней корней которые должны быть заданы. могут быть представлены как

откуда

Каждый из сомножителей (3) представляет на комплексной плоскости вектор, проведенный из точки в произвольную точку под соответствующим углом к вещественной оси: полюсов) или (для нулей) (рис. 1). Если точка является одним из корней характеристического ур-ния замкнутой системы (1), то в соответствии с (2) и (3) должны выполняться соотношения

и

где векторов соответственно.

Для построения годографа осн. значение имеет ур-ние (4), куда выражение для коэфф. усиления (5) не входит. Поэтому, если найден корень ур-ния (1) с помощью выражения (4), то значение К находят из (5) и наносят рядом с соответствующей точкой годографа. Совокупность точек на плоскости образует ветвей корневого годографа при изменении ЛГ от 0 до причем число его ветвей равно порядку системы. Но непосредственно отыскивать ур-ния (1) с помощью выражения (4) трудно. Ивэнс разработал правила, позволяющие упростить построение корневого годографа.

Пусть передаточная ф-ция разомкнутой системы имеет вид

причем расположение полюсов и нуля на комплексной плоскости показано на рис. 2 (крестиками и кружочком соответственно). Применим сначала следующие правила.

1) Отрезки действительной оси, по которым перемещаются действительные корни при изменении ЛГ от 0 до являются ветвями корневого годографа и находятся в тех частях оси, справа от которых расположено нечетное общее число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы. 2) Ветви, не лежащие на действительной оси, симметричны ей. 3) Ветви корневого годографа начинаются при в полюсах . При ветвей заканчиваются в нулях , а остальные стремятся к бесконечности. Это позволяет сразу определить две ветви корневого годографа: Ветви, начинающиеся в полюсах будут симметричны относительно действительной оси и заканчиваются также на бесконечности. 4) Асимптоты ветвей, уходящих при на бесконечность, расходятся лучами из точки А на действительной оси с абсциссой

под углами к действительной оси, причем

В нашем примере число асимптот поэтому из точки с абсциссой проводим три луча под углами Точки пересечения корневого годографа с мнимой осью находят либо с помощью устойчивости критериев (Гурвица, Рауса, Найквиста или Михайлова), либо с помощью непосредственного применения уравнения фаз (2), что является более предпочтительным для систем высокого порядка. Это же ур-ние используется и для определения углов входа корневого годографа в комплексные нули и выхода из комплексных полюсов. Углы входа в вещественные нули и выхода из вещественных полюсов равны 0° или 180°. По этому правилу находят точки на мнимой оси, а также углы, под которыми ветви выходят из полюсов Указанные правила позволяют построить все ветви корневого годографа. После этого следует определить значение К вдоль годографа, для чего в любую точку на одной из ветвей проводят векторы и вычисляют К по формуле (5). Разработаны также методы, позволяющие построить корневой годограф по логарифм, частотным характеристикам.

Корневой годограф позволяет определять осн. динамические параметры системы: границу устойчивости (пересечение его с мнимой осью); степень устойчивости (вещественная часть ближайшего к мнимой оси корня); степень колебательности (отношение мнимой части к вещественной для ближайшего к мнимой оси корня); декремент затухания (величина, обратная степени колебательности) для любого заданного значения коэфф. усиления К (или другого параметра настройки); время переходного процесса и перерегулирование по величине корней, ближайших к мнимой оси. К. г. м. может быть использован при синтезе корректирующих устройств. Существуют спец. приборы и аппаратура, позволяющие автоматизировать процесс построения корневого годографа.

Лит.: Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М., 1972 [библиогр. с. 442—446]; Трак сел Дж. Синтез систем автоматического регулирования. Пер. с англ. М., 1959. А. А. Туник.