В качестве приложения метода Релея рассмотрим задачу о невесомой балке, на которую установлено несколько сосредоточенных масс (рис. 1.18). Введение подобного типа модели для исследования можно связать с идеей дискретизации непрерывно распределенной массы балки, когда части ее веса считаются сосредоточенными в соответствующих точках по ее длине, с тем, чтобы иметь возможность приближенного описания динамических характеристик балки. Разумеется, системы сосредоточенных грузов могут иметь место и в действительности как группы нагрузок, приложенных к конструкции.
Рис. 1.18

В данном случае обозначим через $W_{1}, W_{2}$ и $W_{3}$ сосредоточенные нагрузки, установленные на балку, через $y_{1}, y_{2}$ и $y_{3}$-соответствующие им статические перемещенйя. Потенциальная энергия деформации при изгибе балки
\[
E_{\text {п } \max }=\frac{1}{2} W_{1} y_{1}+\frac{1}{2} W_{2} y_{2}+\frac{1}{2} W_{3} y_{3} .
\]

Для того чтобы определить круговую частоту основного тона колебания, можно записать кинетическую энергию системы при переходе через положение равновесия:
\[
E_{\text {к max }}=\frac{1}{2 g} W_{1} \dot{y}_{1}^{2}+\frac{1}{2 g} W_{2} \dot{y}_{2}^{2}+\frac{1}{2 g} W_{3} \dot{y}_{3}^{2} .
\]

Из соотношения (1.14) в п. 1.3 имеем
\[
\dot{y}_{1}=p y_{1} ; \quad \dot{y}_{2}=p y_{2} ; \quad \dot{y}_{3}=p y_{3} .
\]

Тогда выражение (б) может быть переписано в следующем виде:
\[
E_{\mathrm{K} \text { max }}=\left(p^{2} / 2 g\right)\left(W_{1} y_{1}^{2}+W_{2} y_{2}^{2}+W_{3} y_{3}^{2}\right) .
\]

Приравнивая выражения (а) и (г), найдем
\[
p^{2}=\frac{g\left(W_{1} y_{1}+W_{2} y_{2}+W_{3} y_{3}\right)}{W_{1} y_{1}^{\prime}+W_{2} y_{2}^{2}+W_{3} y_{3}^{\prime}} .
\]

В общем случае для $n$ сосредоточенных масс, установленных на балке, выражение (д) имеет вид
\[
p^{2}=g \sum_{j=1}^{n} W_{j} y_{j} / \sum_{j=1}^{n} W_{i} y_{i}^{2}
\]

Выражение (1.20) является дискретным аналогом полученного выше выражения (1.18).

Из выражения (1.20) видно, что для определения частоты или периода колебаний балки, на которую установлено несколько сосредоточенных грузов, требуется знать только веса $W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{n}$ и статические прогибы $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$. Величину последних можно легко определить методом теории изгиба балок. В тех случаях, когда балка имеет переменное поперечное сечение или необходимо учесть влияние веса самой балки, необходимо разбить балку по длине на несколько участков и вес каждого участка рассматривать как сосредоточенную нагрузку.

Крутильные колебания валов, на которых закреплено по нескольку абсолютно жестких тел, рассматриваются точно так же, как и в случае балок. Тогда дискретный аналог полученного выше выражения (1.19) имеет вид
\[
p^{2}=\alpha \sum_{j=1}^{n} I_{j} \varphi_{i} / \sum_{j=1}^{n} I_{j} \varphi_{j}^{2} .
\]

В этом выражении через $\varphi_{j}$ обозначен поворот $j$-го абсолютно жесткого тела при действии системы статических крутящих моментов.

Указанный крутящий момент, действующий на $j$-е тело, полагается численно равным $\alpha I_{j}$, где $\alpha=1$ рад $/ \mathrm{c}^{-2}$.

Главной особенностью выражений (1.18)-(1.21) является то, что потенциальная и кинетическая энергии, используемые при их выводе, записываются для положений равновесия систем. Статические нагрузки обычно являются несамоуравновешенными и требуют для себя введения соответствующих дополнительных закреплений. С другой стороны, колебания систем без подобных закреплений так же могут быть исследованы методом Релея путем использования фиктивных закреплений в точках, для которых известно или какимлибо путем установлено, что перемещения в них равны нулю. Следует также отметить, что все слагаемые, стоящие в числителях выражений (1.18)-(1.21), будут положительными, когда действие и соот ветствующее ему перемещение направлены в одну сторону. В этом случае будет гарантировано, что вычисленное приближенное значение частоты будет всегда больше, чем ее точное значение.

Пример 1. С помощью метода Релея определить круговую частоту основной формы колебаний балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 1.19). Жесткость балки при изгибе равна $E I$, а влиянием закрепленной массы можно пренебречь. Для простоты считать, что $W_{1}=W_{2}=W$.

Решение. В этом случае будем предполагать, что форма балки при колебаниях аналогична кривой статических прогибов при действии противоположно направленных сил (см. рис. 1.19). Соответствующие статические прогибы определяются следующими выражениями:
\[
y_{1}=\frac{W_{1} l^{3}}{48 E I}+\frac{W_{2} l}{32 E I}=\frac{5 W l^{3}}{96 E I} ; \quad y_{2}=\frac{W_{1} l^{3}}{32 E I}+\frac{W_{2} l}{8 E I}=\frac{5 W l^{3}}{32 E I} .
\]

Подставляя эти выражения в (1.20), получим
\[
p=\sqrt{\frac{192 E I g}{25 W l^{3}}} .
\]

Пример 2. На рис. $1.20, a$ представлена упрощенная модель трехэтажного здания, междуэтажные перекрытия которого полагаются абсолютно жесткими, а стойки считаются невесомыми. Используя метод Релея, найти приближенное значение периода основного тона свободных поперечных колебаний здания. Для простоты считать, что $W_{1}=W_{2}=W_{3} \xlongequal{=}, l_{1}=l_{2}=l_{3}=l$ и жесткость стоек при изгибе равна $E I$.

Peшение. Предположим, что форма поперечных колебаний здания аналогична форме, по которой изгибается здание при действии горизонтальных сил, по величине равных весам $W_{1}, W_{2}$ и $W_{3}$ междуэтажных перекрытий, приложенных в центре тяжести этих перекрытий. Для того чтобы определить боковое смещение между-
Рис. 1.19

этажных перекрытий, рассмотрим сначала перемещение $\delta_{i}$-го при отсчете от верхнего перекрытия относительно перекрытия, лежащего этажом ниже, при действии поперечной силы $H_{i}$, как показано на рис. 1.20 , б. Так как на каждую стойку действует поперечная сила $H_{i} / 2$ и в середине пролета стойки имеется точка перегиба, то в результате получаем
\[
\delta_{i}=2\left[\frac{\left(H_{i} / 2\right)(l / 2)^{2}}{3 E I}\right]=\frac{H_{i} l^{3}}{24 E I} .
\]

Тогда, учитывая равенства $H_{1}=W_{1}=W, H_{2}=W_{1}+W_{2}=2 W, H_{3}=W_{1}+$ $+W_{2}+W_{3}=3 W$, из выражения (е) находим
\[
\delta_{1}=\frac{W l^{3}}{24 E I} ; \quad \delta_{2}=\frac{2 W l^{3}}{24 E I} ; \quad \delta_{3}=\frac{3 W l^{3}}{24 E I} .
\]

Следовательно, статические перемещения, показанные на рис. $1.20, a$ :
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\delta_{3}+\delta_{2}+\delta_{1}=\frac{6 W l^{3}}{24 E I} ; \\
x_{3}=\delta_{3}+\delta_{2}=\frac{5 W l^{3}}{24 E I} ; \\
x_{3}=\delta_{3}=\frac{3 W l^{3}}{24 E I} .
\end{array}
\]

Подставляя найденные значения перемещений в выражение (1.20) и учитывая равенства $W_{1}=W_{2}=W_{3}=W$, найдем
\[
p^{2}=\frac{24 E I g}{5 W l^{3}} ; \quad \tau=\frac{2 \pi}{p}=2 \pi \sqrt{\frac{5 W l^{3}}{24 E I g}} .
\]

Пример 3. Предположим, что в месте соединения пружин $k_{1}$ и $k_{2}$ (см. рис. $1.5, a$ ) прикреплен груз $W$. Определить методом Релея приближенное значение круговой частоты основного тона колебаний этой системы.

Peшение. При одновременном статическом приложении обоих грузов точка соединения пружин перемещается на расстояние $2 W / k_{1}$. Тогда нижний конец смещается на величину $2 W / k_{1}+W / k_{2}$. Если в качестве общего знаменателя для этих

перемещений взять $k_{1} k_{2}$, то первое перемещение станет $W 2 k_{2} / k_{1} k_{2}$, второе – $W\left(2 k_{2}+\right.$ $\left.+k_{1}\right) / k_{1} k_{2}$. Подставляя эти значения в выражение (1.20), найдем
\[
p^{2}=\frac{k_{1} k_{2} \mathcal{L}\left[2 k_{2}+\left(2 k_{2}+k_{1}\right]\right]}{W\left[\left(2 k_{2}\right)^{2}+\left(2 k_{2}+k_{1}\right)^{2}\right]}
\]

или
\[
p=\sqrt{\frac{k_{1} k_{2} g\left(k_{1}+4 k_{2}\right)}{W\left(k_{1}^{2}+4 k_{1} k_{2}+8 k_{-}^{-}\right)}} .
\]

Пример. 4. Предположим, что в представленном на рис. 1.8 (п. 1.2) вале с дисками второй диск с моментом инерции $2 I$ присоединен в середине вала. Используя метод Релея, определить круговую частоту основного тона крутильных колєбаний.

Pешение. Для того чтобы определить перемєщєние при кручєнии, приложим крутящие моменты, численно равные $2 I \alpha$ в середине длины вала и $I \alpha$ на конце его. Указанные крутящие моменты вызывают угловые перемещения, равные $2 / \alpha / 2 k_{\text {к }}$ в середине длины вала и $3 I \alpha / 2 k_{1}+I \alpha / 2 k_{\mathrm{k}}=2 I \alpha / k_{\mathrm{1}}$ на конце его ( $k_{1 \mathrm{i}}$ – жестксть всего вала при кручении). Подставляя эти значения в выражение (1.21), получим
\[
p^{2}=\frac{\alpha\left\{2 I\left[3 I \alpha /\left(2 k_{\mathrm{K}}\right)\right]+I\left(2 I \alpha / k_{\mathrm{K}}\right)\right\}}{2 I\left[3 I \alpha\left(2 k_{\mathrm{K}}\right)\right]^{2}+I\left(2 I \alpha / k_{\mathrm{Hi}}\right)^{2}}
\]

или
\[
p=\sqrt{\frac{10 k_{\mathrm{K}}}{17 I}}=0,767 \sqrt{\frac{k_{\mathrm{K}}}{I}} .
\]

ЗАДАЧИ
1.5.1. На консольную балку с постоянной жесткостью при изгибе, один конец которой защемлен, а другой свободен, установлено два груза вєсом $W$ (рис. А.1.5.1). Используя метод Релея, определить период основного тона свободных конечных колебаний, если дано: $W=4,54 \cdot 10^{3} \mathrm{H}, l=2,44 \mathrm{~m}, E I=13,2 \cdot 10^{5} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2}$.
Oтвет: $\tau=0,271$ c.
Рис. А.1.5.1
1.5.2. На свободно опертую балку со свешивающимися концами установлено три груза весом $W, 2 W$ и $W$ (рис. A.1.5.2). Жесткость балки постоянного поперечного сечения $E I=14,6 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2}$, а ее собственно распределенный вес мал по сравнению с весами грузов. Используя метод Релея, определить пєриод основного тона поперечных колебаний, если дано: $W=230 \mathrm{H}, a=0,91$ м.
Omвem: $\tau=0,269 \mathrm{c}$.
1.5.3. Предположим, что $W_{1}, W_{2}$ и $W_{3}$ на рис. 1.18 представляют распределенный вес балки прямоугольного поперечного сечения, сосредоточенный в сле-

дующих точках: в середине пролета балки и двух точках, удалснных на четверть длины балки от ее концов. Пусть каждый из указанных весов равен $w / 4$. Методом Релея определить приближенное значение периода основного тона колєбании́.
Omsem : $\tau=0,637 \sqrt{\frac{{ }^{w l^{4}}}{E I g}}$.
1.5.4. На рис. А.1.5.4 представлена дискретная модель с сосредоточенными массами для консольной балки постоянного поперечного сечения, один конец которой зещемлен, а другой свободен. Используя метод Релея, определить период основного тона колебаний.
Omвem: $\tau=1,84 \sqrt{\frac{w l^{4}}{E I g}}$.
Рис. А.1.5.4
1.5.5. На рис. А.1.5.5 представлена дискретная модель с сосредоточенными моментами инерции, которая соответствует валу постоянного диаметра с заделанными концами. Определить круговую частоту первого тона крутильных колебаний.
\[
\text { Omвem: } p=3,35 \sqrt{\frac{\overline{G J}}{i l^{2}}} \text {. }
\]

Рис. А.1.5.5
1.5.6. Пусть система, рассмотренная в задаче 1.5.4, представляет собой модель с сосредоточенными массами для задачи о продольных колебаниях стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с площадью $F$. Используя метод Релея, определить круговую частоту $p$ первого тона продольных колебаний.
\[
\text { Omвem: } p=1,57 \sqrt{\frac{E F g}{w l^{2}}} \text {. }
\]