Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В качестве приложения метода Релея рассмотрим задачу о невесомой балке, на которую установлено несколько сосредоточенных масс (рис. 1.18). Введение подобного типа модели для исследования можно связать с идеей дискретизации непрерывно распределенной массы балки, когда части ее веса считаются сосредоточенными в соответствующих точках по ее длине, с тем, чтобы иметь возможность приближенного описания динамических характеристик балки. Разумеется, системы сосредоточенных грузов могут иметь место и в действительности как группы нагрузок, приложенных к конструкции.
Рис. 1.18

В данном случае обозначим через W1,W2 и W3 сосредоточенные нагрузки, установленные на балку, через y1,y2 и y3-соответствующие им статические перемещенйя. Потенциальная энергия деформации при изгибе балки
Eп max=12W1y1+12W2y2+12W3y3.

Для того чтобы определить круговую частоту основного тона колебания, можно записать кинетическую энергию системы при переходе через положение равновесия:
Eк max =12gW1y˙12+12gW2y˙22+12gW3y˙32.

Из соотношения (1.14) в п. 1.3 имеем
y˙1=py1;y˙2=py2;y˙3=py3.

Тогда выражение (б) может быть переписано в следующем виде:
EK max =(p2/2g)(W1y12+W2y22+W3y32).

Приравнивая выражения (а) и (г), найдем
p2=g(W1y1+W2y2+W3y3)W1y1+W2y22+W3y3.

В общем случае для n сосредоточенных масс, установленных на балке, выражение (д) имеет вид
p2=gj=1nWjyj/j=1nWiyi2

Выражение (1.20) является дискретным аналогом полученного выше выражения (1.18).

Из выражения (1.20) видно, что для определения частоты или периода колебаний балки, на которую установлено несколько сосредоточенных грузов, требуется знать только веса W1,W2,,Wn и статические прогибы y1,y2,,yn. Величину последних можно легко определить методом теории изгиба балок. В тех случаях, когда балка имеет переменное поперечное сечение или необходимо учесть влияние веса самой балки, необходимо разбить балку по длине на несколько участков и вес каждого участка рассматривать как сосредоточенную нагрузку.

Крутильные колебания валов, на которых закреплено по нескольку абсолютно жестких тел, рассматриваются точно так же, как и в случае балок. Тогда дискретный аналог полученного выше выражения (1.19) имеет вид
p2=αj=1nIjφi/j=1nIjφj2.

В этом выражении через φj обозначен поворот j-го абсолютно жесткого тела при действии системы статических крутящих моментов.

Указанный крутящий момент, действующий на j-е тело, полагается численно равным αIj, где α=1 рад /c2.

Главной особенностью выражений (1.18)-(1.21) является то, что потенциальная и кинетическая энергии, используемые при их выводе, записываются для положений равновесия систем. Статические нагрузки обычно являются несамоуравновешенными и требуют для себя введения соответствующих дополнительных закреплений. С другой стороны, колебания систем без подобных закреплений так же могут быть исследованы методом Релея путем использования фиктивных закреплений в точках, для которых известно или какимлибо путем установлено, что перемещения в них равны нулю. Следует также отметить, что все слагаемые, стоящие в числителях выражений (1.18)-(1.21), будут положительными, когда действие и соот ветствующее ему перемещение направлены в одну сторону. В этом случае будет гарантировано, что вычисленное приближенное значение частоты будет всегда больше, чем ее точное значение.

Пример 1. С помощью метода Релея определить круговую частоту основной формы колебаний балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 1.19). Жесткость балки при изгибе равна EI, а влиянием закрепленной массы можно пренебречь. Для простоты считать, что W1=W2=W.

Решение. В этом случае будем предполагать, что форма балки при колебаниях аналогична кривой статических прогибов при действии противоположно направленных сил (см. рис. 1.19). Соответствующие статические прогибы определяются следующими выражениями:
y1=W1l348EI+W2l32EI=5Wl396EI;y2=W1l332EI+W2l8EI=5Wl332EI.

Подставляя эти выражения в (1.20), получим
p=192EIg25Wl3.

Пример 2. На рис. 1.20,a представлена упрощенная модель трехэтажного здания, междуэтажные перекрытия которого полагаются абсолютно жесткими, а стойки считаются невесомыми. Используя метод Релея, найти приближенное значение периода основного тона свободных поперечных колебаний здания. Для простоты считать, что W1=W2=W3==,l1=l2=l3=l и жесткость стоек при изгибе равна EI.

Peшение. Предположим, что форма поперечных колебаний здания аналогична форме, по которой изгибается здание при действии горизонтальных сил, по величине равных весам W1,W2 и W3 междуэтажных перекрытий, приложенных в центре тяжести этих перекрытий. Для того чтобы определить боковое смещение между-
Рис. 1.19

этажных перекрытий, рассмотрим сначала перемещение δi-го при отсчете от верхнего перекрытия относительно перекрытия, лежащего этажом ниже, при действии поперечной силы Hi, как показано на рис. 1.20 , б. Так как на каждую стойку действует поперечная сила Hi/2 и в середине пролета стойки имеется точка перегиба, то в результате получаем
δi=2[(Hi/2)(l/2)23EI]=Hil324EI.

Тогда, учитывая равенства H1=W1=W,H2=W1+W2=2W,H3=W1+ +W2+W3=3W, из выражения (е) находим
δ1=Wl324EI;δ2=2Wl324EI;δ3=3Wl324EI.

Следовательно, статические перемещения, показанные на рис. 1.20,a :
x1=δ3+δ2+δ1=6Wl324EI;x3=δ3+δ2=5Wl324EI;x3=δ3=3Wl324EI.

Подставляя найденные значения перемещений в выражение (1.20) и учитывая равенства W1=W2=W3=W, найдем
p2=24EIg5Wl3;τ=2πp=2π5Wl324EIg.

Пример 3. Предположим, что в месте соединения пружин k1 и k2 (см. рис. 1.5,a ) прикреплен груз W. Определить методом Релея приближенное значение круговой частоты основного тона колебаний этой системы.

Peшение. При одновременном статическом приложении обоих грузов точка соединения пружин перемещается на расстояние 2W/k1. Тогда нижний конец смещается на величину 2W/k1+W/k2. Если в качестве общего знаменателя для этих

перемещений взять k1k2, то первое перемещение станет W2k2/k1k2, второе — W(2k2+ +k1)/k1k2. Подставляя эти значения в выражение (1.20), найдем
p2=k1k2L[2k2+(2k2+k1]]W[(2k2)2+(2k2+k1)2]

или
p=k1k2g(k1+4k2)W(k12+4k1k2+8k).

Пример. 4. Предположим, что в представленном на рис. 1.8 (п. 1.2) вале с дисками второй диск с моментом инерции 2I присоединен в середине вала. Используя метод Релея, определить круговую частоту основного тона крутильных колєбаний.

Pешение. Для того чтобы определить перемєщєние при кручєнии, приложим крутящие моменты, численно равные 2Iα в середине длины вала и Iα на конце его. Указанные крутящие моменты вызывают угловые перемещения, равные 2/α/2kк  в середине длины вала и 3Iα/2k1+Iα/2kk=2Iα/k1 на конце его ( k1i — жестксть всего вала при кручении). Подставляя эти значения в выражение (1.21), получим
p2=α{2I[3Iα/(2kK)]+I(2Iα/kK)}2I[3Iα(2kK)]2+I(2Iα/kHi)2

или
p=10kK17I=0,767kKI.

ЗАДАЧИ
1.5.1. На консольную балку с постоянной жесткостью при изгибе, один конец которой защемлен, а другой свободен, установлено два груза вєсом W (рис. А.1.5.1). Используя метод Релея, определить период основного тона свободных конечных колебаний, если дано: W=4,54103H,l=2,44 m,EI=13,2105Hm2.
Oтвет: τ=0,271 c.
Рис. А.1.5.1
1.5.2. На свободно опертую балку со свешивающимися концами установлено три груза весом W,2W и W (рис. A.1.5.2). Жесткость балки постоянного поперечного сечения EI=14,6103HM2, а ее собственно распределенный вес мал по сравнению с весами грузов. Используя метод Релея, определить пєриод основного тона поперечных колебаний, если дано: W=230H,a=0,91 м.
Omвem: τ=0,269c.
1.5.3. Предположим, что W1,W2 и W3 на рис. 1.18 представляют распределенный вес балки прямоугольного поперечного сечения, сосредоточенный в сле-

дующих точках: в середине пролета балки и двух точках, удалснных на четверть длины балки от ее концов. Пусть каждый из указанных весов равен w/4. Методом Релея определить приближенное значение периода основного тона колєбании́.
Omsem : τ=0,637wl4EIg.
1.5.4. На рис. А.1.5.4 представлена дискретная модель с сосредоточенными массами для консольной балки постоянного поперечного сечения, один конец которой зещемлен, а другой свободен. Используя метод Релея, определить период основного тона колебаний.
Omвem: τ=1,84wl4EIg.
Рис. А.1.5.4
1.5.5. На рис. А.1.5.5 представлена дискретная модель с сосредоточенными моментами инерции, которая соответствует валу постоянного диаметра с заделанными концами. Определить круговую частоту первого тона крутильных колебаний.
 Omвem: p=3,35GJil2

Рис. А.1.5.5
1.5.6. Пусть система, рассмотренная в задаче 1.5.4, представляет собой модель с сосредоточенными массами для задачи о продольных колебаниях стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с площадью F. Используя метод Релея, определить круговую частоту p первого тона продольных колебаний.
 Omвem: p=1,57EFgwl2

1
Оглавление
email@scask.ru