Пусть на систему, показанную на рис. $3.19, a$, действует прсизвольного вида возмущающая сила, описываемая комплексной гармонической функцией общего вида:
\[
\mathbf{Q}=\mathbf{P} e^{i \omega t}=\mathbf{P}(\cos \omega t+i \sin \omega t),
\]

где вектор-столбец $\mathbf{P}$ имеет тот же смысл, что и в уравнєнии из п. 3.6. Тогда уравнение (3.41) из п. 3.7 принимает вид
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}=\mathbf{P} e^{i \omega t} .
\]

Рассматривая только установившиеся вынуждєнные колєбєния, будем искать решения в комплексной форме
\[
\mathbf{X}=\mathbf{A} e^{i \omega t} .
\]

Подставляя представления (б) и их производные в уравнение (3.51), получим следующую систему алгебраических уравнений в матричной форме:
\[
\left(\mathbf{S}-\omega^{2} \mathbf{M}+i \omega \mathbf{C}\right) \mathbf{A}=\mathbf{P} .
\]

Решая уравнение (в) относительно $\mathbf{A}$, найдем
\[
\mathbf{A}=\mathbf{B} * \mathbf{P} .
\]

Подставляя выражение (г) в представление (б), приходим к решению следующего вида:
\[
\mathbf{X}=\mathbf{B} * \mathbf{P} e^{i \omega t},
\]

которое описывает гармонические движения двух масс с кругогой частотой $\omega$.
Из соотношений (в) и (г) находим выражение для матрицы
\[
\mathbf{B}^{*}=\left(\mathbf{S}-\omega^{2} \mathbf{M}+i \omega \mathbf{C}\right)^{-1} .
\]

Эта матрица аналогична матрице $\mathrm{B}$, полученной в п. 3.6 , но матрица Б* содержит мнимые части, обусловленные демпфированием. Когда матрица $\boldsymbol{M}$ является диагональной, развернутый вид матрицы
\[
\mathbf{B}^{*}=\left[\begin{array}{ll}
B_{11}^{*} & B_{12}^{*} \\
B_{21}^{*} & B_{22}^{*}
\end{array}\right]=\frac{1}{C^{*}}\left[\begin{array}{cc}
S_{22}-\omega^{2} M_{22}+i \omega C_{22} & -S_{12}-i \omega C_{12} \\
-S_{12}-i \omega C_{21} & S_{11}-\omega^{3} M_{11}-i \omega C_{11}
\end{array}\right],
\]

где
\[
\begin{array}{c}
C^{*}=\left(S_{11}-\omega^{2} M_{11}+i \omega C_{11}\right)\left(S_{22}-\omega^{2} M_{22}+i \omega C_{22}\right)- \\
-\left(S_{12}+i \omega C_{12}\right) .
\end{array}
\]
Рис. 3.20

Элементы матрицы Е* являются коэффициентами влияния, называемыми комплексными передаточными функциями. В подобных матрицах комплексные числа представляют собой амплитуды и фазы установившихся колебаний при наличии демпфирования, обусловленных действием возмущающих сил, описываемых единичными гармоническими функциями.

Используя известные формулы для алгебраических операций над комплексными числами, решение (3.52) можно выразить через действительные амплитуды и фазовые углы:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{g^{2}+h^{2}}} P_{1} \cos \left(\omega t-\theta_{1}\right)+\frac{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt{g^{2}+h^{2}}} P_{2} \cos \left(\omega t-\theta_{2}\right) ; \\
x_{2}=\frac{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt{g^{2}+h^{2}}} P_{1} \cos \left(\omega t-\theta_{2}\right)+\frac{\sqrt{e^{2}+f^{2}}}{\sqrt{g^{2}+h^{2}}} P_{2} \cos \left(\omega t-\theta_{3}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
a=S_{22}-\omega^{2} M_{22} ; \quad b=\omega C_{22} ; \quad c=S_{12} ; \\
d=\omega C_{12} ; \quad e=S_{11}-\omega^{2} M_{11} ; \quad f=\omega C_{11} ; \\
g=\left(S_{11}-\omega^{2} M_{11}\right)\left(S_{22}-\omega^{2} M_{22}\right)-S_{12}^{2}-\omega^{2}\left(C_{11} C_{22}-C_{12}^{2}\right) \\
h=\omega\left[C_{11}\left(S_{22}-\omega^{2} M_{22}\right)+C_{22}\left(S_{11}-\omega^{2} M_{11}\right)-2 C_{12} S_{13}\right]
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\theta_{1}=\operatorname{arctg}\left(\frac{a h-b g}{a g+b h}\right) ; \quad \theta_{2}=\operatorname{arctg}\left(\frac{c h-d g}{c g+d h}\right) ; \\
\theta_{3}=\operatorname{arctg}\left(\frac{e h-f g}{e g+f h}\right) .
\end{array}
\]

Пример. Чтобы продемонстрироғать приложение к практическим задачам теории вынужденных колебаний при наличии демпфирования, рассмотрим динамический гаситель колебаний, показанный на рис. 3.18 , б и кратко описанный в п. 3.6. На рис. 3.20 представлена схема подобного устройства с гидравлическим гасителем колебаний, установленным между основной $m_{1}$ и дополнительной $m_{2}$ массами. С учетом демпфирования дополнительную систему будем рассматривать как динамический гаситель колебаний *, который может подавлять колебания в машинах с постоянной и переменной частотами вращения узлов. Қак показано на рисунке, к основной массе приложена вызывающая колебания сила в виде простой гармонической функции $P \cos \omega t$; коэффициент демпфирования гидравлического гасителя

колебаний обозначен буквой $c$. Так как основное значение имеет амплитуда динамических перемещений массы $m_{1}$, то для этой амплитуды в соответствии с выражением (3.53a) получим
\[
\begin{array}{c}
x_{\mathrm{M} 1}=\frac{P \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{g^{2}+h^{2}}}= \\
=\frac{P \sqrt{\left(k_{2}-\omega^{2} m_{2}\right)^{2}+(\omega c)^{2}}}{\sqrt{\left[\left(k-\omega^{2} m_{1}\right)\left(k_{2}-\omega^{2} m_{2}\right)-\omega^{2} m_{2} k_{2}\right]^{2}+\left[(\omega c)\left(k_{1}-\omega^{2} m_{1}-\omega^{2} m_{2}\right)\right]^{2}}} .
\end{array}
\]

Для того чтобы упростить дальнейшее обсуждение гасителя колебаний, все следующие величины будем использовать в безразмерном виде:
$\Delta_{\mathrm{ct}}=P / k_{1}$ – статический прогиб при действии силы $P$;
$p_{0}=\sqrt{k_{1} / m_{1}}$ – круговая частота колебаний только одной основной системы;
$p_{\text {д }}=\sqrt{k_{2} / m_{2}}-$ круговая частота колебаний только одной дополнительной системы;
$\beta_{2}=m_{2} / m_{1}$ – отношение массы гасителя колебаний к массе основной системы;
$\delta=p_{\text {д }} / p_{0}$ – отношение частоты гасителя колебаний к частоте основной системы;
$\gamma=\omega / p_{0}$ – отношение частоты возмущающей силы к частоте основной системы.

С учетом этих обозначений выражение (к) можно представить в виде
\[
\frac{x_{\mathrm{M} 1}^{2}}{\Delta_{\mathrm{cT}}^{2}}=\frac{4 \mu^{2} \gamma^{2}+\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)^{2}}{4 \mu^{2} \gamma^{2}\left(\gamma^{2}-1+\beta \gamma^{2}\right)^{2}+\left[\beta \delta^{2} \gamma^{2}-\left(\gamma^{2}-1\right)\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)\right]^{2}},
\]

где демпфирование определяется величиной $\mu=c / 2 m_{2} p_{0}$. Положив $\mu=0$, из выражения (л) находим
\[
\frac{x_{\mathrm{M} 1}}{\Delta_{\mathrm{cT}}}=\frac{\gamma^{2}-\delta^{2}}{\beta \delta^{2} \gamma^{2}-\left(\gamma^{2}-1\right)\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)} .
\]

На рис. 3.21 штриховыми линиями показана зависимость амплитуды от частоты для $\mu=0, \beta=1 / 20$ и $\delta=1$. Следует отметить, что на рисунке представлены абсолютные значения функции (м), в то время значения этой функции меняют знак в точках $\gamma=0,895, \gamma=1$ и $\gamma=1,12$.
Рис. 3.21

Другой предельный случай возникает, если взять $\mu=\infty$. Если демпфирование бесконечно велико, массы $m_{1}$ и $m_{2}$ не будут смещаться относительно друг друга. Таким образом, получается система с однөй степенью свободы, массой $m_{1}$ и жесткостью пружины $k_{1}$. Для определения амплитуды вынужденного колебания этой системы воспользуемся выражением (л), что дает
\[
\frac{x_{\mathrm{M} 1}^{2}}{\Delta_{\mathrm{cT}}^{2}}=\frac{1}{\left(\gamma^{2}-1+\beta \gamma^{2}\right)^{2}} .
\]

Критическое значение отношения частоты получается приравниванием нулю знаменателя выражения (н), откуда находим
\[
\gamma_{\kappa p}=\frac{1}{\sqrt{1+\beta}}=0,976 .
\]

Зависимость амплитуды от частоты при $\mu=\infty$ также представлена на рис. 3.21 штриховыми линиями. Эта зависимость имеет тот же вид, что и представленная на рис. 1.22 (см. п. 1.6) для системы с одной степенью свободы. Для всех остальных значений $\mu$ резонансные кривые можно построить с помощью выражения (л). На рис. 3.21 показаны кривые для $\mu=0,10$ и $\mu=0,32$.

Интересно отметить, что все кривые на рис. 3.21 пересекаются в точках $S$ и $T$. Это означает, что для двух соответствующих значений отношения $\gamma$ амплитуды вынужденных колебаний массы $m_{1}$ не зависят от величины демпфирования. Эти значения можно найти, приравняв абсолютные значения $x_{\mathrm{M} 1} / \Delta_{\mathrm{cT}}$, получаемые из выражений (м) и (н), что дает
\[
\frac{\gamma^{2}-\delta^{2}}{\beta \delta^{2} \gamma^{2}-\left(\gamma^{2}-1\right)\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)}=\frac{1}{\gamma^{2}-!+\beta \gamma^{2}} .
\]

Это же уравнение можно получить из выражения (л), считая, что точки $S$ и $T$ пересечения определяют те значения $\gamma$, при которых величина выражения (л) не зависит от демпфирования. В общем виде выражение (л) можно записать
\[
\frac{x_{\mathrm{M} 1}^{2}}{\Delta_{\mathrm{CT}}^{2}}=\frac{M \mu^{2}+N}{P \mu^{2}+Q} .
\]

Здесь можно видеть, что правая часть соотношения не будет зависеть от $\mu^{2}$ только в том случае, если выполняется соотношение $M / P=N / Q$, откуда снова получаем уравнение (п). Это уравнение можно представить в следующей форме:

или
\[
\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)\left(\gamma^{2}-1-\beta \gamma^{2}\right)=\beta \delta^{2} \gamma^{2}-\left(\gamma^{2}-1\right)\left(\gamma^{2}-\delta^{2}\right)
\]
\[
\gamma^{4}-2 \gamma^{2} \frac{1+\delta^{2}+\beta \delta^{2}}{2+\beta}+\frac{2 \delta^{2}}{2+\beta}=0 .
\]

Из уравнения (с) можно найти два корня $\gamma_{1}^{2}$ и $\gamma_{2}^{2}$, которые определяют значения абсцисс точек $S$ и $T$. Затем подстановкой $\gamma_{1}^{2}$ и $\gamma_{2}^{2}$ в выражения (м) или (н) определяем соответствующие значения амплитуд вынужденных колебаний. Используя последнее выражение как более простое найдем ординаты точек * $S$ и $T$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{\left(x_{\mathrm{M} 1}\right)_{S}}{\Delta_{\mathrm{CT}}} & =-\frac{1}{\gamma_{1}^{\prime}-1+\beta \gamma_{1}^{\prime}} \\
\frac{\left(x_{\mathrm{M} 1}\right)_{T}}{\Delta_{\mathrm{cT}}} & =\frac{1}{\gamma_{2}^{\prime}-1+\beta \gamma_{2}^{\prime}} .
\end{aligned}
\]

Значения этих ординат зависят от величин $\beta$ и $\delta$, определяемых массой и жесткостью пружин поглотителя колебаний. Соответствующим подбором этих характеристик можно повысить эффективность поглотителя колебаний. Поскольку все
* Предполагается, что $\gamma_{1}^{2}$ является меньшим из корней уравнений (с); корень квадратный из выражения (н) берется со знаком минус для того, чтобы получить положительное значение амплитуды.

кривые на рис. 3.21 должны проходить через точки $S$ и $T$, максимальные ординаты этих кривых, дающие значения максимальных амплитуд при вынужденных колебаниях, будут зависеть от ординат точек\” $S$ и $T$. Важно отметить, что наиболее благоприятное условие будет достигнуто в том случае, если ординаты $S$ и $T$ будут равными, для чего требуется, чтобы выполнялось условие

или
\[
-\frac{1}{\gamma_{1}^{2}-1+\beta \gamma_{1}^{2}}=\frac{1}{\gamma_{2}^{2}-1+\beta \gamma_{2}^{2}}
\]
\[
\gamma_{i}+\gamma_{2}=\frac{2}{1+\beta} \text {. }
\]

Здесь следует помнить, что $\gamma_{1}^{2}$ и $\gamma_{2}^{\prime}$ д два корня квадратного уравнения (с) и что, как известно, сумма корней квадратного уравнения равна взятому с отрицательным знаком козффициенту при сретием члене, откупа имеем

что дает
\[
\frac{2}{1+\beta}-2 \frac{1+\delta^{2}+\beta \delta^{2}}{2+\beta},
\]
\[
\delta=\frac{1}{1+\beta} .
\]

Эта формула указывает способ «настройки» поглотителя колєбаний. Если масса $m_{2}$ поглотителя выбрана, то становится известной величина $\beta$ и тогда по формуле (x) определяем соответствующее значение $\delta$, с помощью которого находим частоту и жесткость пружины поглотителя колебаний.

Для того чтобы определить соответствующие точкам $S$ и $T$ амплитуды вынужденных колебаний, подставим в выражение (у) значение одного из корней уравнений (с). При правильно построенном поглотителе колебаний должно выполняться соотношение (х). Для этого случая уравнение (c) принимает вид
\[
\gamma^{4}-\frac{2 \gamma^{2}}{1+\beta}+\frac{2}{(2+\beta)(1+\beta)^{2}}=0,
\]

откуда находим
\[
\gamma_{i, 2}=\frac{1}{1+\beta}\left(1 \pm \sqrt{\frac{\beta}{2+\beta}}\right) \text {. }
\]

Далее из выражения (у) получаем
\[
\frac{\left(x_{\mathrm{M} 1}\right)_{T}}{\Delta_{\mathrm{CT}}}=\sqrt{\frac{2+\beta}{\beta}}=\frac{\left(x_{\mathrm{M} 1}\right)_{S}}{\Delta_{\mathrm{CT}}} .
\]

Положения точек $S$ и $T$ не зависят от демпфирующих свойств поглотителя колебаний. Однако максимальные значения ординат кривых зависимости амплитуды от частоты (см. рис. 3.21) зависят от величины $\mu$. Попытаемся получить наиболее благоприятное условие, подобрав $\mu$ таким образом, чтобы кривые зависимости амплитуды от частоты имели равный нулю тангенс угла наклона касательной в точках $S$ или $T$. На рис. 3.22 представлеңы кривые подобного рода, одна с максимальным значением в точке $\mathcal{S}$, другая – в точке $T$. Эти кривые построены для случая при $\beta=1 / 4$. Можно видеть, что максимальные значения ординат этих кривых очень незначительно отличаются от ординат точек $S$ и T. Следовательно, можно утверждать, что выражение (ч) дает значение амплитуды вынужденного колебания массы $m_{1}$ с достаточно хорошей точностью, если величина $\mu$ выбрана так, как сбъяснялось выше.

Теперь рассмотрим, как надо подбирать демпфирующие характеристики поглотителя колебаний, чтобы резонансные кривые имели максимальные значения в точках $S$ и $T$. Начнем с того, что представим выражение (л) в виде (р). Решив далее получившееся соотношение относительно $\mu^{2}$, получим
\[
\mu^{2}=\frac{N-Q\left(x_{\mathrm{M} 1} / \Delta_{\mathrm{CT}}\right)^{2}}{P\left(x_{\mathrm{M} 1} / \Delta_{\mathrm{cT}}\right)^{2}-M} .
\]
Рис. 3.22
Как только выбрана масса $m_{2}$ поглотителя колебаний, становится известной величина $\beta$ и тогда из формулы (x) находим $\delta$. Затем по формуле (ц) можно подсчитать значения $\gamma_{1}^{2}$, соответствующие точкам $S$ и $T$, и далее из выражения (ч) находим $x_{\mathrm{Ml}} / \Delta_{\text {ст }}$. Если все найденные значения подставить в выражение (ш), придем к неопределенному соотношению вида $0 / 0$ для $\mu^{2}$, поскольку положения точек $\mathcal{S}$ и $T$ не зависят от $\mu$. Однако давайте рассмотрим точку, очень близко расположенную к точке $S$ на графике зависимости амплитуды от частоты. Если максимум находится в точке $S$, значение $x_{M 1} / \Delta_{\text {ст }}$ не будет изменяться при незначительном смещении абсциссы точки. Не будут изменяться также значения $\beta$ и $\delta$, и только корень $\gamma_{1}^{2}$ немного изменит свое значение. Благодаря такому изменению выражение (ш) дает определенное значение величины $\mu^{2}$, которое требуется для того, чтобы сделать горизонтальной касательную к кривой в точке $S$. Аналогичным образом можно получить значение $\mu^{2}$, при котором касательная в точке $T$ будет горизонтальной.

Жесткость пружины поглотителя колебаний определяем по формуле (х). Максимальное напряжение в пружине, возникающее при колебаниях, можно найти, если известно максимальное относктельное перемещение $x_{0 т н}=\left(x_{2}-x_{1}\right)_{\max }$. Для точного вычисления этой величины требуется проводить сложное исследование движения обеих масс $m_{1}$ и $m_{2}$ с учетом разности их фаз. Удовлетворительное приближение для $x_{0 т н}$ можно получить, предположив, что колебанне основной массы отстает на $\pi / 2$ рад от переменной нагрузки $P \cos \omega t$. При таком предположении работа, выполняемая за один цикл, равна $\pi P x_{\text {м1 }}$ [см. выражение (в) в п. 1.10]. Рассеивание энергии за один цикл колебания, обусловленное силами демпфирования, пропорциональными скорости, равно $\pi c\left(x_{0 т н}\right)^{2} \omega[$ см. выражение (д) в п.1.10]. Приравнивая рассеянную энергию работе, выполненной за один цикл, получим
\[
x_{\text {oTH }}^{2}=\frac{P x_{\mathrm{M} 1}}{c \omega} .
\]

Используя введенные безразмерные параметры, формулу (щ) можно представить в виде
\[
\frac{x_{\mathrm{OTH}}^{2}}{\Delta_{\mathrm{CT}}^{2}}=\frac{x_{\mathrm{M} 1}}{\Delta_{\mathrm{CT}}} \frac{1}{2 \mu \gamma \beta} .
\]

Поскольку $\mu$ и $\beta$ обычно малы, то, как следует из этой формулы, относительное перемещение $x_{0 \text { тн }}$ будет значительно больше, чем перемещение $x_{\text {м1 }}$ массы $m_{1}$.