Рассмотрим теперь случай системы со многими степенями свободы, к которой приложены внешние силы, соответствующие координатам перемещения. Матричная форма уравнений движения в усилиях имеет вид
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}=\mathbf{Q},
\]

где через $\mathbf{Q}$ обозначена следующая матрица-столбец (или векторстолбец) приложенных к системе изменяющихся со временем сил:
\[
\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{c}
Q_{1} \\
Q_{2} \\
Q_{\mathrm{s}} \\
\cdots \\
Q_{n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
F_{1}(t) \\
F_{2}(t) \\
F_{3}(t) \\
\ldots \ldots \\
F_{n}(t)
\end{array}\right] .
\]

Умножая слева обе части уравнения (4.61) на матрицу $\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}}$ и используя представления (4.34) и (4.35), преобразуем это уравнение к главным координатам
\[
\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{X}_{M} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q} .
\]

Это уравнение можно переписать в следующей форме:
\[
\mathbf{M}_{\Gamma} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{S}_{\Gamma} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{Q}_{\Gamma}
\]

где матрицы $\mathbf{M}_{\Gamma}$ и $S_{\Gamma}$ определяются, соответственно, выражениями (4.28) и (4.29). Через $\mathbf{Q}_{\Gamma}$ в уравнении (4.62) обозначен вектор-столбец внешних сил, записанный в главных координатах:
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}
\]

В развернутой форме произведение этих матриц имеет вид

Если матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс, выражение (4.63a) принимает вид
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q},
\]
a $i$-е уравнение движения в нормальных координатах запишем в следующей форме:
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $i$-я нормальная сила имеет вид
\[
q_{\Gamma i}=X_{\mathrm{H} 1 i} Q_{1}+X_{\mathrm{H} 2 i} Q_{2}+X_{\mathrm{H} 3 i} Q_{3}+\ldots+X_{\mathrm{H} n i} Q_{n} .
\]

Определяемая выражением (4.66) величина $q_{\Gamma i}$ обозначает $i$-ю нормальную координату приложенной силы. Она вводится для того, чтобы сделать равным единице ускорение обобщенной единичной массы.

Каждое из $n$ уравнений (4.65) является несвязанным со всеми остальными и, как можно видеть, имеет такую же форму, как и в случае системы с одной степенью свободы. Поэтому динамические

перемещения системы на внешнее воздействие по $i$-й нормальной координате можно вычислить, используя интеграл Дюамеля:
\[
x_{\Gamma i}=\frac{1}{p_{i}} \int_{0}^{t} q_{\Gamma i} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Это выражение записано в соответствии с выражением (1.64) из п. 1.12, полученным для системы с одной степенью свободы без демпфирования, в начальный момент находившейся в покое. Это выражение используется для определения компонентов вектора $\mathbf{X}_{\Gamma}=\left\{x_{\Gamma i}\right\}$ перемещений по нормальным формам. Затем, с помощью выражения (4.58) из предыдущего параграфа полученные значения преобразуются к исходным координатам.

Для нормальной формы, соответствующей движению как абсолютно жесткого тела, собственное значение $p_{i}^{2}$ равно нулю, поэтому уравнения (4.65) принимают вид
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}=q_{\Gamma i} .
\]

В этом случае динамическое перемещение по соответствующей форме колебаний (для системы, находящейся в покое в начальный момент времени) имеет вид
\[
x_{\Gamma i}=\int_{0}^{t} \int_{0}^{t^{\prime}} q_{\Gamma i} d t^{\prime \prime} d t^{\prime} .
\]

Выражение (4.69) используется вместо (4.67) в том случае, когда имеется форма движения системы как абсолютно жесткого тела.

Суммируя сказанное, отметим, что для определения динамического поведения системы со многими степенями свободы при внешних воздействиях сначала следует с помощью выражения (4.64) преобразовать функции, описывающие эти воздействия, к нормальным координатам, затем с помощью интегрального представления (4.67) определить динамические перемещения системы по каждой форме колебаний, при этом для каждой формы, соответствующей движению как абсолютно жесткого тела, такие динамические перемещения системы определяются из выражения (4.69). И, наконец, с помощью обратного преобразования (4.58) находятся значения действительных координат перемещений. Если примененные внешние воздействия не соответствуют координатам перемещения, то в качестве предварительного шага можно подсчитать соответствующие эквивалентные нагрузки (см. пример 3 в конце данного параграфа).

Прежде чем идти дальше, проанализируем влияние силы $Q_{j}=$ $=F_{j}(t)$, соответствующей $j$-й координате перемещений, на возникновение динамического перемещения по $k$-й координате. В соответствии с выражением (4.66) $i$-я нормальная нагрузка под действием силы
\[
q_{\Gamma i}=X_{\mathrm{H} j i} Q_{j} .
\]
Если в системе имеются только колебательные формы движения, то согласно выражению (4.67) динамические перемещения по $i$-й форме
\[
x_{\Gamma_{i}}=\frac{X_{\mathrm{H} j i}}{p_{i}} \int_{0}^{t} Q_{j} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Преобразуя найденное значение перемещений с помощью выражения (4.58) обратно к исходным координатам, получаем выражение для динамических перемещений системы по $k$-й координате перемещения
\[
\left(x_{k}\right)_{Q_{j}}=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{X_{\mathrm{H} k i} X_{\mathrm{H} j i}}{p_{i}} \int_{0}^{t} Q_{j} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right] \text {. }
\]

Аналогичным образом можно записать выражение для динамических перемещений системы по $j$-й координате перемещения, обусловленной нагрузкой $Q_{k}=F_{k}(t)$, соответствующей $k$-й координате перемещения:
\[
\left(x_{j}\right)_{Q_{k}}=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{X_{\mathrm{H} j i} X_{\mathrm{H} k i}}{p_{i}} \int_{0}^{t} Q_{k} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right] .
\]

Если $Q_{j}=Q_{k}=F(t)$, то правые части выражений (г) и (д) равны между собой, и тогда для левых частей можно записать
\[
\left(x_{k}\right)_{Q_{j}}=\left(x_{j}\right)_{Q_{k}} \quad \text { при } \quad Q_{j}=Q_{k}=F(t) .
\]

Равенство (4.70) представляет собой теорему взаимности для динамических нагрузок *, аналогичную теореме взаимности Максвелла для статических нагрузок ${ }^{5}$. В нем говорится, что динамическое перемещение по $k$-й координате перемещения, обусловленное изменяющейся во времени по произвольному закону нагрузкой, соответствующей $j$-й координате, равно перемещению по $j$-й координате, обусловленному той же самой нагрузкой, соответствующей $k$-й координате. Теорема справедлива для систем, обладающих формами движения как абсолютно жесткого тела, так и с колебательными формами движения, что можно видеть, подставив в интегральное соотношение (в) выражение (4.69) вместо (4.67).

Если колеблющуюся систему исследовать, используя вместо уравнений в усилиях уравнения в перемещениях, то уравнение (4.61) примет вид
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\mathbf{F} \mathbf{Q}=\boldsymbol{\Delta} .
\]

В этом уравнении через $\boldsymbol{\Delta}$ обозначен вектор изменяющихся во времени перемещений, определяемых из статического рассмотрения. Так как этот вектор содержит функции времени, то он является более общим, чем вектор $\boldsymbol{\Delta}_{\text {ст }}$, определяемый выражением (3.37) в п. 3.6. Последнее обозначение относится к вектору с постоянными

компонентами, которые представляют собой статические перемещения, обусловленные максимальными значениями гармонической возмущающей функции. Вектор-столбец в уравнении (4.71) может иметь компоненты, обусловленные действиями возмущений, которые отличаются от усилий, соответствующих координатам перемещений. Случаи, при которых изменяющиеся во времени перемещения обусловлены движениями опор, обсуждены в следующем параграфе.

Уравнение (4.71) преобразуется к нормальным координатам путем подстановки выражений (4.34) и (4.35) для вектор-столбцов соответственно $\mathbf{X}$ и $\ddot{\mathbf{X}}$, при этом вектор-столбец $\mathbf{X}_{M}$ нормируется, после чего получается вектор-столбец $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$. Тогда умножением слева на вектор-столбец $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}$ получаем

или
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{F} \mathbf{M} \mathbf{X}_{\mathrm{H}} \ddot{\mathbf{X}}_{\mathrm{r}}+\mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{F} \mathbf{Q}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \boldsymbol{\Delta}
\]
\[
\mathbf{F}_{\Gamma} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{X}_{\Gamma}=\Delta_{\Gamma},
\]

где $\mathbf{F}_{\Gamma}$ определяется выражением (4.50), а вектор-столбец $\Delta_{\Gamma}$ имеет вид
\[
\Delta_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \boldsymbol{\Delta} \text {. }
\]

Каждое из $n$ уравнений (4.72) имеет форму
\[
\lambda_{i} \ddot{x}_{\Gamma_{i}}+x_{\Gamma_{i}}=\delta_{\Gamma_{i}}, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $\delta_{\Gamma i}$ – изменяющееся во времени перемещение по $i$-й нормальной координате.

Если обе части уравнения (4.72) умножить слева на матрицу $S_{\Gamma}=\mathbf{F}_{\Gamma}^{-1}$, то в матричной форме уравнение примет вид
\[
\ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathrm{S}_{\Gamma} \mathbf{X}=\mathrm{S}_{\Gamma} \Delta_{\Gamma} ;
\]

при этом каждое из $n$ уравнений имеет форму

где
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma \delta i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]
\[
q_{\Gamma \delta i}=p_{i}^{2} \delta_{\Gamma i} .
\]

Величина $q_{\text {го } і \text {, }}$, определяемая выражением (4.77), представляет собой эквивалентную нормальную нагрузку, обусловленную изменяющимся во времени перемещением $\delta_{\Gamma i}$. Эта величина заменяет $q_{\Gamma i}$ при использовании уравнений движения в перемещениях.

Динамические перемещения по $i$-й нормальной форме движения на действие эквивалентной нагрузки $q_{\Gamma \delta i}$ можно определить, также воспользовавшись интегралом Дюамеля, что в этом случае дает
\[
x_{\Gamma i}=\frac{1}{p_{i}} \int_{0}^{t} q_{\Gamma_{\delta i}} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}=p_{i} \int_{0}^{t} \delta_{\Gamma_{i}} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Это выражение совпадает с выражением (1.70). К величинам, найденным с помощью выражений (4.78), затем применяется преобразование (4.58) к исходным координатам.

Теорема взаимности для динамических перемещений ${ }^{6}$ может быть сформулирована точно так же, как было сделано для динамических нагрузок [см. соотношение (4.70)], а именно:
\[
\left(x_{k}\right)_{\Delta j}=\left(x_{j}\right)_{\Delta k}, \quad \Delta_{j}=\Delta_{k}=f(t) .
\]

Из этого соотношения следует, что динамическое перемещение по $k$-й координате перемещения, обусловленное изменяющимся во времени перемещением пю $j$-й координате, равно перемещению по $j$-й координате, обусловленному таким перемещением по $k$-й координате.

Пример 1. Вновь рассмотрим показанную на рис. $3.1, a$ двухмассовую систему, для которой в примере 1 предыдущего параграфа были определены динамические перемещения на заданные начальные условия. Предположим, что к первой массе приложена нагрузка в виде ступенчатой функции $Q_{1}=P$. Определить динамические перемещения системы при этой возмущающей нагрузке, считая, что в начальный момент времени система находится в покое.

Решение. В этом простом случае вектор внешних нагрузок равен $\mathbf{Q}=\{P ; 0\}$. Преобразуем этот вектор к нормальным координатам, воспользовавшись для этого выражением (4.64):
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}=\frac{1}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{rr}
0,526 & 0,851 \\
-0,851 & 0,526
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
P \\
0
\end{array}\right]=\frac{P}{\sqrt{m}} .
\]

Применив интеграл Дюамеля к ступенчатой функции [см. выражение (1.66)], получим форму перемещений по $i$-й нормальной координате
\[
x_{\Gamma_{i}}=q_{\Gamma i}\left(1-\cos p_{i} t\right) / p_{i}^{2} .
\]

Таким образом, вектор перемещений по нормальным формам имеет вид
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{r}}=\frac{P}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{r}
0,526\left(1-\cos p_{1} t\right) / p_{1}^{2} \\
-0,851\left(1-\cos p_{2} t\right) / p_{2}^{2}
\end{array}\right] .
\]

Подстановка $p_{1}^{2}=0,382 k / m$ и $p_{2}^{2}=2,618 k / m$ в выражение (з) дает
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P \sqrt{m}}{k}\left[\begin{array}{r}
1,377\left(1-\cos p_{1} t\right) \\
-0,325\left(1-\cos p_{2} t\right)
\end{array}\right] .
\]

Преобразуя согласно (4.58) полученное решение к исходным координатам, найдем
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P}{k}\left[\begin{array}{l}
1-0,724 \cos p_{1} t-0,276 \cos p_{2} t \\
1-1,171 \cos p_{1} t+0,171 \cos p_{2} t
\end{array}\right] .
\]

Из рассмотрения этих результатов видно, что массы совершают колебания относительно точек с координатами $\left(x_{1}\right)_{\mathrm{c}}=\left(x_{2}\right)_{\mathrm{c}}=P / k$, соответствующими перемещениям при статическом приложении нагрузки.

Таким путем можно определить динамические перемещения при действии нагрузки в виде ступенчатой функции $Q_{2}=P$, приложенной ко второй массе, что в этом случае дает
\[
\mathbf{X}=\frac{P}{k}\left[\begin{array}{l}
1-1,171 \cos p_{1} t+0,171 \cos p_{2} t \\
2-1,895 \cos p_{1} t-0,105 \cos p_{2} t
\end{array}\right] .
\]

Из выражения (л) видно, что первая масса колеблется около точки с координатой $\left(x_{1}\right)_{\mathrm{cT}}=P / k$, вторая масса – около точки с координатой $\left(x_{2}\right)_{\mathrm{c}}=2 P / k$, т. е. около точек, соответствующих перемещениям при статическом приложении нагрузки. Из сравнения выражений (к) и (л) видно, что динамические перемещения массы $m_{2}$ при приложении к массе $m_{1}$ нагрузки в виде ступенчатой функции $Q_{1}=k$ равны перемещению массы $m_{1}$, обусловленной действием приложенной к массе $m_{2}$ нагрузки

в виде ступенчатой функции $Q_{2} \rightleftharpoons P$. Сказанное подтверждает справедливость теоремы взаимности [см. соотношение (4.70)].

Пример 2. Предположим, что на полуопредсленную систему нз примера 2 предыдущего параграфа действует нагрузка в виде линейной функции $Q_{1}=R t$, приложенная ко второй массе. Величина $R$ характеризует скорость изменения силы во времени. Определить реакцию трехмассовой системы на указанное возмущение. Pешение. Умножая вектор-столбец приложенных сил $\mathbf{Q}=\{0 ; R t ; 0\}$ слева на матрицу $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}}$ для данной системы, преобразуем этот вектор к нормальным координатам
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}=\frac{1}{\sqrt{6 m}}\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\
\sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
0 \\
R t \\
0
\end{array}\right]=\frac{R t}{\sqrt{6 m}}\left[\begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
0 \\
-2
\end{array}\right] .
\]

Перемещение по первой нормальной форме, т. е. движение как абсолютно жесткого тела, определяем из выражения (4.69):
\[
x_{\Gamma_{1}}=R t^{3} V \overline{2} /(6 \sqrt{6 m}) .
\]

Поскольку вторая форма колебаний является симметричной, она не будет возникать при антисимметричном нагружении. Однако в соответствии с выражением (4.67) здесь будут возбуждаться колебания третьей формы. Подставляя в интеграл Дюамеля заданную линейную функцию, получим решение
\[
x_{\Gamma_{3}}=-2 R\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right) /\left[p_{3}^{2} \sqrt{6 m}\right],
\]

что следует из примера 1 в п. 1.12. Используя ранее найденное значение $p_{3}^{2}=3 \mathrm{k} / \mathrm{m}$, перемещение системы по нормальным формам можно представить в следующем виде:
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{R}{6 \sqrt{6 m}}\left[\begin{array}{c}
t^{3} \downarrow \overline{2} \\
0 \\
\frac{-4 m}{k}\left(t-\frac{1}{R_{3}} \sin p_{3} t\right)
\end{array}\right] .
\]

Преобразуя этот вектор-столбец перемещений к исходным координатам, найдем
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{R}{18 m}\left[\begin{array}{l}
t^{3}-\frac{2 m}{k}\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right) \\
t^{3}+\frac{6 m}{k}\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right) \\
t^{3}-\frac{2 m}{k}\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right)
\end{array}\right]
\]

Фигурирующая в каждой из форм колебаний, входящих в матрицу-столбец (р), составляющая, которая определяет движение как абсолютно жесткого тела, равна $R t^{3} / 18$; в то же время среди главных форм движения только третья главная форма соответствует колебательным движениям.

Пример 3. Вновь возвращаясь к показанной на рис. 4.2 , а системе, предположим, что заданы такие же значения масс и длин, как и в примере 3 предыдущего параграфа. Предположим также, что в середине пролета между первой и второй массами к тросу приложена действующая в направлении $x$ возмущающая сила в виде гармонической функции $P \sin \omega t$. Требуется определить результирующие установившиеся вынужденные колебания этой системы, применяя как подход, основанный на уравнении движения в усилиях, так и метод, использующий уравнения движения в перемещениях.

Peшение. Проверкой убеждаемся, что эквивалентные силы, приложенные к массам, $\mathbf{Q}=\{P(\sin \omega t) / 2 ; P(\sin \omega t) / 2 ; 0\}$. Умножая этот вектор на матрицу

$\mathbf{x}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{r}}$, получаем следующие выражения для функций возмущающих сил в нормальных координатах:
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathbf{H}} \mathbf{Q}=\frac{P \sin \omega t}{4 \sqrt{\bar{m}}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]=\frac{P \sin \omega t}{4 \sqrt{m}}\left[\begin{array}{c}
1+\sqrt{2} \\
\sqrt{2} \\
1-\sqrt{2}
\end{array}\right]
\]

Опуская промежуточные выкладки, перемещения по нормальным формам можно записать в виде
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P \sin \omega t}{4 \sqrt{m}}\left[\begin{array}{c}
(1+\sqrt{2}) \beta_{1} / p_{1}^{2} \\
\sqrt{2} \beta_{2} / p_{2}^{2} \\
(1-\sqrt{2}) \beta_{3} / p_{3}^{2}
\end{array}\right]
\]

где коэффициент усиления для $i$-й нормальной формы
\[
\beta_{i}=\frac{1}{1-\omega^{2} / p_{i}^{2}}, \quad i=1,2,3 .
\]

Подставляя в выражение (т) значения $1 / p_{1}^{2}=(2+\sqrt{2})_{2}^{2} l m /(2 T), \quad 1 / p_{2}^{2}=\operatorname{lm} /(2 T)$ и $1 / p_{3}^{2}=(2-\sqrt{2}) \mathrm{lm} /(2 T)$, перепишем это выражение в следующей форме:
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P l \sqrt{m} \sin \omega t}{8 T}\left[\begin{array}{c}
(4+3 \sqrt{2}) \beta_{1} \\
\sqrt{2} \beta_{2} \\
(4-3 \sqrt{2}) \beta_{3}
\end{array}\right]
\]

Тогда перемещение системы в исходных координатах будет иметь форму
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P l \sin \omega t}{16 T}\left[\begin{array}{c}
(4+3 \sqrt{2}) \beta_{1}+2 \beta_{2}+(4-3 \sqrt{2}) \beta_{3} \\
2(3+2 \sqrt{2}) \beta_{1}+2(3-2 \sqrt{2}) \beta_{3} \\
(4+3 \sqrt{2}) \beta_{1}-2 \beta_{2}+(4-3 \sqrt{2}) \beta_{3}
\end{array}\right] .
\]

Для того чтобы воспользоваться методом, в котором для решения этой задачи применяются уравнения движения в перемещениях, запишем сначала вектор перемещения $\Delta$ в виде следующего произведения:
\[
\boldsymbol{\Delta}=\mathbf{F} \mathbf{Q}=\frac{P l \sin \omega t}{8 t}\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]=\frac{P l \sin \omega t}{8 T}\left[\begin{array}{l}
5 \\
6 \\
3
\end{array}\right] .
\]

Эти־перемещения с помощью выражения (4.73) преобразуем к нормальным координатам вида
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \boldsymbol{\Delta}= \\
=\frac{P l}{\bar{m}^{1} \sin \omega t}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
5 \\
6 \\
3
\end{array}\right]=\frac{P l \sqrt{m} \sin \omega t}{8 T}\left[\begin{array}{c}
4+3 \sqrt{2} \\
\sqrt{2} \\
4-3 \sqrt{2}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Видно, что этот вектор описывает те же самые перемещения по нормальным формам, что и полученные в выражении (ф). Окончательный результат будет совпадать с выражением (x).

ЗАДАЧИ

4.5.1. Для трехмассовой системы (см. рис. 4.1,a) дано $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$. Определить динамические перемещения этой системы при действии приложенной к третьей массе возмущающей силы в виде гармонической функции $Q_{3}=P \cos \omega t$.
Oтвет: $x_{1}=(P \cos \omega t)\left(0,242 \beta_{1} / p_{1}^{2}-0,436 \beta_{2} / p_{2}^{2}+0,194 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right) / m$.
4.5.2. Определить динамические перемещения трехмассовой системы, рассмотренной в задаче 4.2.2, при действии приложенной к первой массе силы в виде стуненчатой фуккции $Q_{1}=P$.
Omвem: $\quad x_{1}=P\left[6-(2+\sqrt{2}) \cos p_{1} t-2 \cos p_{2} t-(2-\sqrt{2}) \cos p_{3} t\right] /(8 k)$.
4.5.3. Предположим, что к центру тяжести центрального маятника (см. задачу 4.2.3) приложена в горизонтальном направлении и направо изменяющаяся по линейному закону сила $R t$. Определить динамические перемещения этой системы при малых углах поворотов.
Oтвет: $\theta=\frac{R}{3 m l}\left[\left(t-\frac{1}{p_{1}} \sin p_{1} t\right)\left|p_{1}^{3}-\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right)\right| p_{3}^{2}\right]$.
4.5.4. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.4, определить динамические перемещения при действии крутящего момента $T \sin \omega t$, приложенного в середине пролета между вторым и третьим дисками.
Oтвет: $\varphi_{1}=(T \sin \omega t)\left(0,218 \beta_{1} / p_{1}^{2}-0,097 \beta_{2} / p_{2}^{2}-0,121 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right) / I$.
4.5.5. Определить динамические перемещения четырехмассовой системы, рассмотренной в задаче 4.2 .5 , при действии сил в виде ступенчатых функций $Q_{1}=$ $=Q_{2}=P$, приложенных к первой и четвертой массам.
Oтвет: $x_{1}=P\left[\left(t^{2}+\left(1-\cos p_{3} t\right) \mathrm{m} / \mathrm{k}\right] 4 \mathrm{~m}\right.$.
4.5.6. Предполагая, что к установленным на балке массам $m_{1}$ и $m_{3}$ (см. задачу 4.2.6) приложены силы в виде линейных функций $Q_{1}=Q_{3}=R t$, определить динамические перемещения системы.
Oтвет:
$y_{1}=\frac{R}{2 m}\left[\left(t-\frac{1}{p_{1}} \sin p_{1} t\right) / p_{1}^{2}+\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right) / p_{3}^{2}\right]$.
4.5.7. На тройной маятник (см. задачу 4.2.7) действует в направлении оси $x$ сила $P \cos \omega t$, приложенная в середине пролета между первой и второй массами. Определить установившиеся динамические перемещения системы.
Oтвет: $x_{1}=(P \cos \omega t)\left(0,077 \beta_{1} / p_{1}^{2}+0,290 \beta_{2} / p_{2}^{2}+0,132 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right) / m$.
4.5.8. Исследовать поведение каркаса трехэтажного здания (см. задачу 4.2.8) при действии одновременно приложенных к каждому междуэтажному перекрытию нагрузок в виде ступенчатых функций $Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=P$.
Omвem: $x_{1}=P h^{3}\left(5,977-4,820 \cos p_{1} t-0,821 \cos p_{2} t-0,336 \cos p_{3} t\right) /(144 E I)$. 4.5.9. Определить динамические перемещения подвешенной на пружинах массы (см. задачу 4.2.9) при действии изменяющейся по линейному закону силы $R t$, приложенной к этой массе, направленной по оси $z$.
Ответ:
\[
z_{1}=\frac{R}{p_{2}^{2} m}\left(t-\frac{1}{p_{2}} \sin p_{2} t\right) .
\]
4.5.10. Исследовать установившиеся динамические перемещения рамы, рассмотренной в задаче 4.2.10, при действии силы $P \sin \omega t$, приложенной в точке $B$ и направленной по оси $y$.
Oтвет: $x_{1}=(P$ sin $\omega t)\left(0,095 \beta_{1} / p_{1}^{2}-0,146 \beta_{2} / p_{2}^{2}+0,052 \beta_{3} / p_{3}^{\varepsilon}\right) / m$.
4.5.11. Пусть на систему, рассмотренную в задаче 4.2.11, действуют вโнаправлении оси $y$ приложенные к первой и третьей массам силы в виде линейных функций $Q_{1}=Q_{3}=R t$. Определить динамические перемещения системы.
Omвem:
\[
y_{1}=\frac{R}{9 m}\left[t^{3}+3\left(t-\frac{1}{p_{3}} \sin p_{3} t\right) / p_{3}^{2}\right] .
\]
4.5.12. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.12, найти динамические перемещения при действии силы в виде ступенчатой функции $P$, приложенной в направлении оси $y$ к центру тяжести правого стержня; принять $l=0,915$ м.
Omвem: $y_{1}=P\left(0,0379-0,0631 \cos p_{1} t+0,0252 \cos p_{3} t\right) / k$.